E-Funktion

06.06.2015, 17:55

Christian94

E-Funktion

hi!

wir machen zrzeit e-funktionen und ich hab zur folgende eine Frage

f(x) = $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} e^{-x²} \end{eqnarray*}$

wenn ich das, jeweils einzel ableite bekomme ich folgendes raus:

-2x²( $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} e^{-x²} \end{eqnarray*}$ )

mein rechenweg ist der folgende

$\begin{eqnarray*} e^{x²-8}*x \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} e^{-x²}* (-2x) \end{eqnarray*}$ )

was mach ich falsch?

06.06.2015, 18:44

dastrian

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RE: E-Funktion
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^2-8 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ .
Also muss es in der letzten Formel in deinem Beitrag heißen:

$\begin{eqnarray*} e^{x²-8} * 2x + e^{-x²}* (-2x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

wenn ich das, jeweils einzel ableite bekomme ich folgendes raus:

-2x²( $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} e^{-x²} \end{eqnarray*}$ )

Nein, herauskommen sollte nach obiger Beobachtung dann $\begin{eqnarray*} 2x(e^{x²-8} - e^{-x²}) \end{eqnarray*}$

07.06.2015, 21:47

Christian94

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RE: E-Funktion

Zitat:

Original von dastrian
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^2-8 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ .
Also muss es in der letzten Formel in deinem Beitrag heißen:

$\begin{eqnarray*} e^{x²-8} * 2x + e^{-x²}* (-2x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

wenn ich das, jeweils einzel ableite bekomme ich folgendes raus:

-2x²( $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} e^{-x²} \end{eqnarray*}$ )

Nein, herauskommen sollte nach obiger Beobachtung dann $\begin{eqnarray*} 2x(e^{x²-8} - e^{-x²}) \end{eqnarray*}$

ah stimmt man klammert 2x aus! Aber da habe ich jetzt eine Frage und zwar es ist ja einmal 2x und einmal (-2x). Aber warum steht dann vor der klammer 2x statt - 2x?

Beste Grüße und schonmal vielen Dank! smile

07.06.2015, 22:56

mrdo87

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Man klammert ja in der Regel das aus, was in allen Summanden vorkommt. Und da ja nur im hinteren Summand ein Minus steckt, klammert man das Minus in der Regel nicht mit aus. Da es nicht mit ausgeklammert wurde, wurde aus $\begin{eqnarray*} +e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

07.06.2015, 23:37

Christian94

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Zitat:

Original von mrdo87
Man klammert ja in der Regel das aus, was in allen Summanden vorkommt. Und da ja nur im hinteren Summand ein Minus steckt, klammert man das Minus in der Regel nicht mit aus. Da es nicht mit ausgeklammert wurde, wurde aus $\begin{eqnarray*} +e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

ah ok!

aber wäre es theorethisch auch richtig es so zu schreiben? Ich habe es verstanden wie du es meinst, nur es könnt ja mal im "eifer des gefechtes" es passieren zu übersehen?

-2 ( $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} + e^{-x²} \end{eqnarray*}$ )

dann hätte ich noch Frage zur 2. Ableitung:

2 ( $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} - e^{-x²} \end{eqnarray*}$ ) + 2x ( $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} * 2x + e^{-x²} * (-2x) \end{eqnarray*}$ )

es soll beim 2. Term 4x² raus kommen, aber ich habe ja drei mal 2x? Habe ich falsch abgeleitet oder iwas missverstanden oder wo ist mein Fehler?

vielen Dank für eure Tatkräftige Unterstützung!

07.06.2015, 23:45

Christian94

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sollte natürlich -2x heißen bei der ersten Ableitung!

08.06.2015, 00:42

dastrian

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Langsam. Wir sind uns zunächst einig, dass die erste Ableitung so aussehen muss:
$\begin{eqnarray*} e^{x²-8} * 2x + e^{-x²}* (-2x) \end{eqnarray*}$
Dies kann man aber auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} 2x e^{x²-8} - 2x e^{-x²} \end{eqnarray*}$
Hier habe ich einfach die Reihenfolge der Faktoren vertauscht, was man beim Multiplizieren ja darf. Beachte außerdem, dass das Minus, das bei 2x in der Klammer stand, einfach die ganze Summe zu einer Differenz macht.
Was nun mrdo87 meinte, war, dass es sinnvoll ist, $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ auszuklammern:
$\begin{eqnarray*} 2x( e^{x²-8} - e^{-x²}) \end{eqnarray*}$
Theoretisch könnte man auch $\begin{eqnarray*} -2x \end{eqnarray*}$ ausklammern, das macht aber wenig Sinn, denn dann müsste man beim ersten Summanden ja noch ein Minus ergänzen, damit das ganze stimmt:
$\begin{eqnarray*} -2x(- e^{x²-8} + e^{-x²}) \end{eqnarray*}$

Genau dieses ausklammern ist es auch, was du bei der zweiten Ableitung übersiehts:
$\begin{eqnarray*} 2x ( e^{x²-8} * 2x + e^{-x²} * (-2x) ) = 2x * ( 2x* (e^{x²-8} - e^{-x²})) = 4x² (e^{x²-8} - e^{-x²}) \end{eqnarray*}$

08.06.2015, 17:40

Christian94

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vielen dank für die anschauliche und ausführliche erläuterung!!

jetzt ist es mir klar geworden

habe noch eine Frage, wenn man die NS sucht dann betrachtet man ja nur den Term vor der E-Funktion richtig? Da eine E-Funktion nicht "0" werden kann? Stimmt das ?

d.h. schaut man sich nur die 2x an und für was diese "0" werden kann. Einmal für "0" und laut Lösung auch noch 2, aber wie kommt man auf diese 2?

vielen Dank für eure Hilfsbereitschaft!

08.06.2015, 17:48

dastrian

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Ich vermute mal ganz stark, du meinst de Nullstellen der Ableitung!?!

Man sucht also nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} 2x(e^{x²-8} - e^{-x²}) \end{eqnarray*}$ gilt. Ein Produkt ergibt genau dann Null, wenn einer (oder auch mehrere oder auch alle, aber eben mindestens einer) der Faktoren null ist. Hier haben wir genau genommen drei Faktoren: $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} - e^{-x²} \end{eqnarray*}$ .

Die 2 wird natürlich nie null und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist genau dann 0, wenn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist. geschockt

Bleibt die Frage, wann $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} - e^{-x²} = 0 \end{eqnarray*}$ ist...

08.06.2015, 18:12

Christian94

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Zitat:

Original von dastrian
Ich vermute mal ganz stark, du meinst de Nullstellen der Ableitung!?!

Man sucht also nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} 2x(e^{x²-8} - e^{-x²}) \end{eqnarray*}$ gilt. Ein Produkt ergibt genau dann Null, wenn einer (oder auch mehrere oder auch alle, aber eben mindestens einer) der Faktoren null ist. Hier haben wir genau genommen drei Faktoren: $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} - e^{-x²} \end{eqnarray*}$ .

Die 2 wird natürlich nie null und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist genau dann 0, wenn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist. geschockt

Bleibt die Frage, wann $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} - e^{-x²} = 0 \end{eqnarray*}$ ist...

ja sollte die 1. Ableitung sein, sorry!

ja, dass ist die Frage? Mir wurde immer gesagt eine E-Funktion kann nicht 0 sein?

08.06.2015, 18:26

dastrian

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Das ist auch richtig: E hoch Irgendetwas ist immer positiv. (Also mathematisch genauer gesagt: "Irgendetwas" ist eine beliebige reelle Zahl).

Aber wenn ich beispielsweise weiß, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ positive Zahlen sind, weiß ich dann auch, dass $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ positiv ist? - Nein! Dieser Ausdruck kann positiv, negativ oder 0 sein, je nachdem ob $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ größer, kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist.

Die Frage hier ist also, wann $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} = e^{-x²} \end{eqnarray*}$ ist.
Hier kann man auf verschiedene Arten weiterargumentieren, und es hängt davon ab, welche Eigenschaften der E-Funktion ihr schon besprochen habt. Was weißt du denn noch über sie?

08.06.2015, 18:57

Christian94

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das ist die frage, wir hatten sonst immer nur solche e-funktionen wie x² * e^-x etc und da mussten wir sowas nicht machen, daher auch meine Aussage von wegen kann nicht "0" werden. Diese Aufgabe ist von einem einem Übungsblatt zur Vorbereitung die wir beherrschen sollten :-/

08.06.2015, 21:34

dastrian

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Lass dich nicht verwirren, im Moment sprachen wir noch nicht von Eigenschaften der Funktion $\begin{eqnarray*} e^{x²-8} - e^{-x²} \end{eqnarray*}$ ganz konkret, sondern nur allgemein von Eigenschaften der E-Funktion, also der Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ .

Es gibt genauer gesagt zwei Eigenschaften dieser wichtigen Funktion, die uns bei der Aufgabe helfen würden, und ich würde dich bitten, im Zweifel nachzuschauen, welche ihr davon schon hattet:

Die E-Funktion ist echt monoton, d.h. für $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} e^x<e^y \end{eqnarray*}$ .
Die E-Funktion macht aus Summen Produkte, soll heißen: $\begin{eqnarray*} e^{x+y}=e^x e^y \end{eqnarray*}$ .

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