Restglied vom Taylorpolynom

06.06.2015, 18:01

Alex2323

Restglied vom Taylorpolynom

Hallo zusammen,

ich habe zu $\begin{eqnarray*} x*e^x \end{eqnarray*}$ bereits das Taylorpolynom dritten Grades erstellt am Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Für den zweiten Aufganbenteil muss ich das Restglied angeben mit der Bemerkung, dass $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ nicht exakt bestimmt werden muss.

Das Restglied ist ja wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} * (x - x_0) \end{eqnarray*}$

Also bräuchte ich hierfür die 4. Ableitung von $\begin{eqnarray*} x * e^x \end{eqnarray*}$ . Dies ist $\begin{eqnarray*} e^x(4 +x) \end{eqnarray*}$ .

Mich verwirrt jetzt dieses $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ . Ich kann zwar meine Werte jetzt in die Funktion einfügen... aber weiß nicht so recht, was ich damit anfangen soll und vorallem wie ich das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ abschätzen soll

Könnte mir da jemand helfen verwirrt

Vielen Dank im voraus!

06.06.2015, 18:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist schon, dass du sagst, dass das Restglied so "definiert" ist - falsch!

Definiert ist es einfach als das was der Name sagt: Als Rest der Funktion, wenn man das Taylorpolynom $\begin{align*} n \end{align*}$ -ten Grades davon subtrahiert, d.h.

$\begin{align*} R_n(x) := f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k \end{align*}$ .

Das was du geschrieben hast (wenn wir mal von dem fehlenden Exponenten absehen), ist eine mögliche Darstellung dieses Restgliedes, wobei unbedingt noch dazu gesagt werden muss:

Zitat:

Es gibt (!) ein $\begin{align*} \xi \end{align*}$ im Intervall zwischen $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ und $\begin{align*} x \end{align*}$ , so dass

$\begin{align*} R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot (x - x_0)^{n+1} \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} x>x_0 \end{align*}$ heißt das also $\begin{align*} x_0<\xi<x \end{align*}$ , für $\begin{align*} x<x_0 \end{align*}$ hingegen $\begin{align*} x<\xi<x_0 \end{align*}$ , mehr Informationen zu $\begin{align*} \xi \end{align*}$ hat man dabei nicht! Das muss also reichen, um das Restglied in irgendeiner Weise vernünftig abzuschätzen, was ja meist das Anliegen bei der Betrachtung eines solchen Restgliedes ist.

06.06.2015, 18:50

Alex2323

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, dann hab ich das wohl falsch verstanden mit der Definition. Aber gut... ich möchte nun mit der genannten Darstellung das Restglied angeben.

Ich versuche mal einen Ansatz...

$\begin{eqnarray*} R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot (x - x_0)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} f^{(4)} = e^x(4 + x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_n(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} \cdot (x - 0)^{4} = \frac{e^{\xi}*(4 + \xi)} {4!} \cdot x^4 = \frac{4e^{\xi} + e^{\xi}\xi}{4!} \cdot x^4 =\frac{4}{4} \cdot \frac{e^{\xi} + e^{\xi}\xi}{3!} \cdot x^4 = \frac{e^{\xi} + e^{\xi}\xi}{3!} \cdot x^4 ... \end{eqnarray*}$

Bevor ich umsonst weitermache.... ist das bis hierhin erstmal richtig?

06.06.2015, 19:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\xi}*(4 + \xi)} {4!} \cdot x^4 \end{eqnarray*}$ ist richtig. Alles danach ist m.E. Zeit- und Platzverschwendung, wobei du nach dem vorletzten Gleichheitszeichen auch noch Umformungsfehler machst. unglücklich

06.06.2015, 19:19

Alex2323

Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich die 4! nicht zu 3! * 4 umformen?!

Wie sollte ich denn nach $\begin{eqnarray*} \frac{e^{\xi}*(4 + \xi)} {4!} \cdot x^4 \end{eqnarray*}$ weitermachen?
Ich steh irgendwie aufm Schlauch... traurig

06.06.2015, 20:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Alex2323
Darf ich die 4! nicht zu 3! * 4 umformen?!

Suggestivfragen sind sinnlos, wenn sie am Kern des Problems vorbeigehen. Finger2

Es ist nicht $\begin{align*} 4e^{\xi}+e^{\xi}\xi \stackrel{?}{=} 4\cdot (e^{\xi}+e^{\xi}\xi) \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} 4e^{\xi}+e^{\xi}\xi = 4\cdot \left(e^{\xi}+\frac{1}{4}e^{\xi}\xi\right) \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Alex2323
Wie sollte ich denn nach $\begin{eqnarray*} \frac{e^{\xi}*(4 + \xi)} {4!} \cdot x^4 \end{eqnarray*}$ weitermachen?

Das ist so, als wenn du dein Navi fragst "wo soll ich langfahren?", aber gar kein Ziel eingegeben hast. unglücklich

Also: Was ist das Ziel, was du mit den Umformungen beabsichtigst?

06.06.2015, 20:08

Alex2323

Auf diesen Beitrag antworten »

Peinlich... hab falsch hingeschaut. Sorry.
Kommen wir zurück zum eigentlichen Problem: Wie gehe ich da nun weiter vor? Big Laugh

Ich möchte nicht die Lösung für mein Problem, aber die ersten Schritte mit Erklärung wären glaub ich echt hilfreich geschockt

06.06.2015, 20:10

Alex2323

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für Doppelpost... dein Edit kam während meines Beitrags.

Naja, mein Ziel ist es das Restglied in der oben genannten Darstellung zu erhalten. Wenn ich es richtig verstanden habe, muss ich aber vorher erst das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ abschätzen
Richtig?

06.06.2015, 20:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche "oben genannte" Darstellung? verwirrt

06.06.2015, 20:25

Alex2323

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ne, hat sich erledigt. Vergiss die Darstellung. Ich muss doch als erstes nun $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ abschätzen, oder?

06.06.2015, 20:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme mir schon vor wie eine Gebetsmühle: Was ist das Ziel? Sollst du das Restglied (betragsmäßig) nach oben abschätzen? Falls ja, für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus welchem Bereich - alle reellen Zahlen, oder doch nur für ein bestimmtes endliches Intervall?

Ich antworte erst wieder, wenn es zumindest halbwegs zufrienden stellende Antworten auf diese Nachfragen gibt.

06.06.2015, 20:47

Alex2323

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich soll das Restglied betragsmäßig nach oben abschätzen.
Und x ist aus allen reellen Zahlen.

07.06.2015, 09:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Alex2323
Und x ist aus allen reellen Zahlen.

Tatsächlich? Nun, das ist schlecht, weil dann ist eine absolute (d.h. von x unabhängige) obere Abschätzung von $\begin{align*} \frac{e^{\xi}(\xi+4)}{4!} \end{align*}$ gar nicht möglich. Da bleibt nur noch die (wieder bezogen auf x) relative obere Abschätzung

$\begin{align*} |R_3(x)| < \frac{e^x(x+4)}{4!} x^4 \end{align*}$ für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ ,

basierend auf $\begin{align*} 0<\xi<x \end{align*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Restglied vom Taylorpolynom

Verwandte Themen