Verteilung des Gesamtschadens

06.06.2015, 16:32

Fuidl

Verteilung des Gesamtschadens

Meine Frage:
Guten Abend zusammen

Ich habe folgende Aufgabe: Bestimmen Sie die Verteilung des Gesamtschadens S, wenn für die Verteilung der Schadenanzahl und Schadenhöhe gilt:
(i) $\begin{eqnarray*} P_{N}=Poi(\lambda) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{X}=Bin(1, \phi) \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} P_{N}=NB(n,\theta) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{X}=Bin(1, \phi) \end{eqnarray*}$

Für den Fall (i) habe ich über die erzeugenden Funktionen der beiden Verteilungen und der Beziehung $\begin{eqnarray*} \hat g_{s}(s)=\hat g_{N}(\hat g_{X}(s) \end{eqnarray*}$ herausbekommen, dass die "neue" Verteilung einer $\begin{eqnarray*} Poi(\lambda\phi) \end{eqnarray*}$ entspricht.

Im Fall (ii) komme ich aber nicht weiter:

Meine Ideen:
Für die erzeugende Funktion der NB gilt $\begin{eqnarray*} (1-\theta)^{n}(1-\theta s)^{-n} \end{eqnarray*}$ und für jene der Bin $\begin{eqnarray*} (1-\phi+phi s) \end{eqnarray*}$ , so dass ich mittels der o.g. Beziehung folgendes erhalte:

$\begin{eqnarray*} (1-\theta)^{n}(1-\theta(1-\phi+\phi s)^{-n} \end{eqnarray*}$ dann kann ich das umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} (1-\theta)^{n}(1-\theta-\theta\phi+\theta \phi s)^{-n} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Hier hänge ich nun und komme nicht weiter. Weiss jemand weiter oder welche Verteilungsfunktion bei der Zusammensetzung der beiden Funktion herauskommt?

Besten Dank vorab!

06.06.2015, 16:54

HAL 9000

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Zunächst mal hast du einen Vorzeichenfehler drin, richtig umgeformt ergibt sich

$\begin{align*} (1-\theta)^{n}(1-\theta+\theta\phi-\theta \phi s)^{-n} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Fuidl
Für den Fall (i) habe ich über die erzeugenden Funktionen der beiden Verteilungen und der Beziehung $\begin{eqnarray*} \hat g_{s}(s)=\hat g_{N}(\hat g_{X}(s) \end{eqnarray*}$ herausbekommen

Was soll dies syntaktisch falsche Gebilde bedeuten?

$\begin{eqnarray*} \hat g_{s}(s)=\hat g_{N}(s)\hat g_{X}(s) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \hat g_{s}(s)=\hat g_{N}(\hat g_{X}(s)) \end{eqnarray*}$ , oder ganz was anderes? verwirrt

EDIT: Hmm, offenbar zweiteres.

06.06.2015, 17:05

Stata

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Ich sitze auch an der Aufgabe... Es muss natürlich heissen $\begin{eqnarray*} \hat g_{s}(s)=\hat g_{N}(\hat g_{X}(s)) \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann mir da auch einer einen Tipp geben auf was wir denn überhaupt kommen sollen. Gegoogelt habe ich schon den ganzen Nachmittag. Und nur triviale Umformung kann es ja nicht sein.

06.06.2015, 17:09

HAL 9000

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Nun, es ist (nachrechnen!)

$\begin{align*} (1-\theta)^{n}(1-\theta+\theta\phi-\theta \phi s)^{-n} = \left( \frac{1-\theta}{1-\theta+\theta\phi} \right)^n \left( 1-\frac{\theta\phi}{1-\theta+\theta\phi}s \right)^{-n} = \left( 1-\theta' \right)^n \left( 1-\theta's \right)^{-n} \end{align*}$ ,

sofern man $\begin{align*} \theta':=\frac{\theta\phi}{1-\theta+\theta\phi} \end{align*}$ definiert. Ob das trivial ist - nun, Ansichtssache. Augenzwinkern

06.06.2015, 17:17

Stata

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Gut, trivial ist es nicht... da muss ich wirklich einmal genau nachrechnen. geschockt

Danke Dir und einen schönen Abend!

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