Mehrfachintegrale, Integrationsgrenzen bestimmen

06.06.2015, 21:31

tzui

Mehrfachintegrale, Integrationsgrenzen bestimmen

Guten Abend,

ich habe mir einige Aufgaben zu Mehrfachintegralen angeguckt, aber ich komme bei meiner Aufgabe damit nicht weiter.

Als Menge ist -y < x < y, 0 < y < 1 gegeben. Wir sollen das Integral auf beide Weise integrieren, also einmal zuerst über x und einmal zuerst über y.

Ich weiß aber nicht wie ich anfangen und worauf man achten soll beim Festlegen der Grenzen. Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar (:

06.06.2015, 22:57

dastrian

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RE: Mehrfachintegrale, Integrationsgrenzen bestimmen
Es wäre vielleicht hilfreich, wenn du dir das Gebiet mal aufzeichnest. (Damit meine ich ganz einfach diejenige Teilmenge derjenigen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , welche $\begin{eqnarray*} -y < x < y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 < y < 1 \end{eqnarray*}$ erfüllen.)

Erst über x zu integrieren und dann über y heißt (nach meinem Verständnis), dass das Integral über x das Innere ist und das Integral über y das Äußere, also etwas von der Form:

$\begin{eqnarray*} \int_{y_0}^{y_1} \int_{x_0}^{x_1} f(x,y) dx dy \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist, die auf dem Gebiet definiert sein soll.

Im konkreten Fall gilt nun ähnlich wie bei Klammern, Beträgen etc. die Regel: von innen nach außen. Also erst das innere Integral berechnen, dann das äußere. Insbesondere schaut man sich für ein für den Moment als fest angenommenes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mal das Integral über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ an. Die Einschränkung des Gebiets sagen gerade, dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ sein soll, sonst liegen wir außerhalb unseres Gebiets. Und wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ist, dann liegt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ genau dann in unserem Gebiet, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} [-y,y] \end{eqnarray*}$ liegt. Demnach ist das innere Integral für ein festes $\begin{eqnarray*} y \in [0,1] \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \int_{-y}^{y} f(x,y) dx \end{eqnarray*}$

Nun erinnern wir uns, dass danach noch über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integriert werden soll, und zwar von 0 bis 1:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{-y}^{y} f(x,y) dx dy \end{eqnarray*}$

Falls du dir das Gebiet aufgezeichnet hast, siehst du, dass das Innere Integral gerade das Integral über alle waagrechten Linien ist, das senkrechte Ideal dann sozusagen die Integration über alle diese waagrechten Integrale.

Um nun die umgekehrte Integration durchzuführen, brauchst du nur deine Bedingungen $\begin{eqnarray*} -y < x < y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 < y < 1 \end{eqnarray*}$ so umzuformulieren, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in einer von Ungleichung steht, in der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht vorkommt. (Denn das äußere Integral darf ja nicht von der Variablen abhängen, über die im inneren Integral integriert wird.)

07.06.2015, 19:47

tzui

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RE: Mehrfachintegrale, Integrationsgrenzen bestimmen

Zitat:

Original von dastrian

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{-y}^{y} f(x,y) dx dy \end{eqnarray*}$

Falls du dir das Gebiet aufgezeichnet hast, siehst du, dass das Innere Integral gerade das Integral über alle waagrechten Linien ist, das senkrechte Ideal dann sozusagen die Integration über alle diese waagrechten Integrale.

Um nun die umgekehrte Integration durchzuführen, brauchst du nur deine Bedingungen $\begin{eqnarray*} -y < x < y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 < y < 1 \end{eqnarray*}$ so umzuformulieren, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in einer von Ungleichung steht, in der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht vorkommt. (Denn das äußere Integral darf ja nicht von der Variablen abhängen, über die im inneren Integral integriert wird.)

Vielen lieben Dank für diese ausführliche Erklärung! Gott

Auf die Integrationsgrenzen hätte ich auch kommen können ... War im Kopf wohl schon zusehr damit beschäftigt sie umzuformulieren. Und genau da liegt das Problem. Ich weiß nicht wie.

x ist ja gegeben durch y und -y und dieses liegt zwischen 0 und 1 also auch zwischen 0 und -1. Kann man dann für x -1 und 1 nehmen? Bleibt y so wie es ist oder muss ich das hier auch ändern sodass es von x abhängt?

08.06.2015, 00:24

dastrian

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RE: Mehrfachintegrale, Integrationsgrenzen bestimmen
Genau, für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nimmt man nun $\begin{eqnarray*} -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ braucht man eine neue Ungleichung, in der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch vorkommen darf, sodass diese beiden Ungleichungen dan äquivalent sind zu unseren Ausgangsbedingungen $\begin{eqnarray*} -y < x < y, 0 < y < 1 \end{eqnarray*}$ .
Am besten und schönsten kommt man darauf, indem man sich das von diesen Bedingungen eingeschlossene Gebiet einfach mal aufzeichnet.

08.06.2015, 13:28

tzui

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Das mit dem Zeichnen macht mir ein paar Probleme.
Für y muss ich dann auf der y-Achse einen Strich zwischen 0 und 1 ziehen? Und für x eine Gerade bei -y und y ziehen?

Wie setzte ich die Integrationsgrenzen, wenn ich als Gebiet $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ und x als $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ festgelegt ist? Setze ich zb $\begin{eqnarray*} y=x^2=(y^2)^2=y^4 \end{eqnarray*}$ ?

08.06.2015, 13:42

dastrian

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Also: Legen wir mal eben fest, dass die x-Achse die "waagrechte" und die y-Achse die "senkrechte" ist.

Das Gebiet von $\begin{eqnarray*} -y < x < y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 < y < 1 \end{eqnarray*}$ ist einfach dasjenige Gebiet, auf dem sich die folgenden beiden überlappen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < y < 1 \end{eqnarray*}$ : Dies ist einfach ein Streifen von Höhe 1, der nach links und rechts unendlich ist.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -y < x < y \end{eqnarray*}$ : Um das zu zeichnen, malt man sich erstmal die beiden Linien mit $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = -y \end{eqnarray*}$ , das sind also genau die Geraden, die zu den Koordinatenachsen im 45°-Winkel stehen. Diese beiden Geraden teilen unsere $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ -Ebene in genau vier Teile. Das Gebiet mit $\begin{eqnarray*} -y < x < y \end{eqnarray*}$ ist nun also das, was "oben" und "unten" zwischen diesen Geraden liegt, aber nicht das, was "links" und "rechts" dazwischen liegt...

Alle Klarheiten beseitigt ? smile

Zitat:

Wie setzte ich die Integrationsgrenzen, wenn ich als Gebiet $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ und x als $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ festgelegt ist?

Du meinst $\begin{eqnarray*} y=x² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = y² \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt bereits $\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$ ...

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