exp(t * X) integrierbar warum auch exp(-t * X) bzgl bel. W-Maß?

07.06.2015, 11:21

Erwartungswert

exp(t * X) integrierbar warum auch exp(-t * X) bzgl bel. W-Maß?

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ sei ein bel. W-Maß und $\begin{eqnarray*} X: \Omega \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sei eine Zufallsvariable.
Angenommen $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[e^{tX}] \end{eqnarray*}$ existiere für $\begin{eqnarray*} t \in (-h,h) \end{eqnarray*}$ mit h > 0.
Warum existiert dann auch $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[e^{-tX}] \end{eqnarray*}$ auf dem selben Intervall?

Meine Ideen:
Intuitiv ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[e^{tX}] = \mathbb{E}[e^{-tX}] \end{eqnarray*}$ . Leider stehe ich komplett auf dem Schlauch, wie man das beweisen kann?
Normalerweise kann man ja nicht sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[Y^{-1}] \end{eqnarray*}$ ist oder?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

07.06.2015, 11:31

1nstinct

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RE: exp(t * X) integrierbar warum auch exp(-t * X) bzgl bel. W-Maß?

Zitat:

Intuitiv ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[e^{tX}] = \mathbb{E}[e^{-tX}] \end{eqnarray*}$ . Leider stehe ich komplett auf dem Schlauch, wie man das beweisen kann? Normalerweise kann man ja nicht sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[Y^{-1}] \end{eqnarray*}$ ist oder?

Existenz impliziert nicht Gleichheit!!!

Die Aussage ist beinahe trivial.

Es existiere $\begin{eqnarray*} \mathbb E(e^{tX}) \text{ für } t\in (-h,h) \end{eqnarray*}$ .

Dann existiert natürlich auch $\begin{eqnarray*} E(e^{-tX}) \end{eqnarray*}$ , da auch $\begin{eqnarray*} -t\in (-h,h) \end{eqnarray*}$ .

07.06.2015, 11:33

IfindU

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RE: exp(t * X) integrierbar warum auch exp(-t * X) bzgl bel. W-Maß?
Die Äquivalenz gilt viel allgemeiner:
Die Aussage $\begin{eqnarray*} A(t) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \in (-h, h) \end{eqnarray*}$ ist wahr genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} A(-t) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \in (-h, h) \end{eqnarray*}$ wahr ist.

Das folgt einfach daraus, dass $\begin{eqnarray*} t \in (-h,h) \iff -t \in (-h,h) \end{eqnarray*}$ .

07.06.2015, 11:49

Erwartungswert

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exp(t * X) integrierbar warum auch exp(-t * X) bzgl bel. W-Maß?
LOL Hammer

Vielen Dank. Ich stand richtig auf dem Schlauch. Ich war gerade dabei, die Aussage zurück auf die Definition des Erwartungswertes zu führen. -.-

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exp(t * X) integrierbar warum auch exp(-t * X) bzgl bel. W-Maß?

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