Selbstadjungierte Abbildung

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unta77 Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstadjungierte Abbildung
Meine Frage:
Also im Anhang die Aufgabe smile
Mein Problem ist, dass ich zwar die Definition einer adjungierten Abbildung kenne, aber nicht weiß wie man sie dann bestimmt.
Außerdem habe ich mich bei dieser Aufgabe auch noch gefragt, was das bedeuten soll für alle alpha, für die es "ein Skalarprodukt gibt"? Wann gibt es denn kein Skalarprodukt für diese? Und ist das von dem alpha-Wert abhängig oder von der Stelle in der Matrix?

Meine Ideen:
Okay, so und jetzt meine Ansätze wie ich diese Aufgabe lösen würde:
Im Allgemeinen ist ja die Definition für die adjungierte Abbildung von einer linearen Abbildung mit den Skalarprodukten so:
und dann ist das ja hier also auf eine selbstadjungierte Abbildung zu übertragen, so dass . Dann würde ich damit ein Lineares Gleichungssystem aufstellen und es nach alpha auflösen. Aber dafür müsste ich ja wissen was ist, um das zu tun, oder? Wie komme ich denn dann überhaupt auf f^ad??
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
was das bedeuten soll für alle alpha, für die es "ein Skalarprodukt gibt"? Wann gibt es denn kein Skalarprodukt für diese
Kann es sein, dass du den nachfolgenden Nebensatz überlesen hast?

Was hast es denn überhaupt, dass f selbstadjungiert ist?
unta77 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

oh ja habe ich wohl überlesen...

wenn f selbstadjungiert ist heißt es ja dass die adjungierte Abbildung von f, die Abbildung f selbst ist. Und weil f eine Abbildung von einem Vektorraum in den selben Vektorraum ist, dachte ich dass es die Bedeutung <f(v),v>_v=<v,f^ad(v)>_v (so wie ich das hingeschrieben habe als ich versucht habe die adjungierte Abbildung darauf zu übertragen), .....nicht?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
adjungierte Abbildung von f, die Abbildung f selbst ist.

Wozu also noch versuchen zu berechnen oder weiter in den Formeln stehen zu lassen?
unta77 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, offensichtlich unnötig. Aber worauf bezogen kann man denn jetzt die alpha bestimmen? Muss man nicht auch ein Skalarprodukt bestimmen?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind alpha zu bestimmen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen.
 
 
unta77 Auf diesen Beitrag antworten »

Also alpha für die <f(v),v>=<v,f(v)> gilt?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, das hatte ich bis jetzt überlesen:

Zitat:
Im Allgemeinen ist ja die Definition für die adjungierte Abbildung von einer linearen Abbildung mit den Skalarprodukten so:

Ist falsch. Bitte schlage es nochmal nach. ( Mit deiner Definition wär adjungiert synonym zu kompex konjugiert.)
unta77 Auf diesen Beitrag antworten »

bei einer Abbildung wie beschrieben?
Aber wenn die Abbildung wie hier ein Endomorphismus ist, bleibt doch nur noch <f(v),v>_v=<v,f(v)>_v..oder wie?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Matrix A heißt selbstadjungiert, wenn für alle Vektoren gilt . Bei Matrizen ist diese Definition gleichbedeutend mit der Forderung, dass die Matrix mit der konjugierten Transponierten übereinstimment, also .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nun sollte es dir nicht mehr schhwerfallen, die Matrixelemente so zu bestimmen, dass dies gilt.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

@ehos:
Das gilt nur falls <.,.>, oder in deiner Notation (.|.), das Standardskalarprodukt ist.
Oder falls A die Darstellungsmatrix von f bzgl. einer ONB von V ist.
Das ist hier in dieser Aufgabe nicht der Fall.

@unta77: Nein. es wird zu
Zitat:
w \in V
. Wieso sollte sich der variablenname auch noch ändern?

Aber jetzt mal zur eigentlichen Aufgabe:
Was weißt du denn über selbst-adjungierte Matrizen?
Mit bestimmten Eigenschaften (z.b. Spektralsatz) geht das hier sehr einfach (keine Ahnung ob ihr den schon hattet).
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein



Selbstadjungiertheit ist nur bei Selbstabbildungen möglich:

unta77 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja den Spektralsatz hatten wir heute. Jetzt weiß man, dass eine ONB besitzt, die aus den Eigenvektoren von f besteht.... Das heißt für alle Vektoren muss das Skalarprodukt Null sein und gleichzeitig gelten, dass f selbstadjungiert ist......=?
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