Zeigen dass f ein Einheitskreis bildet und Umkehrfunktion berechnen

07.06.2015, 16:11

Uschastik

Zeigen dass f ein Einheitskreis bildet und Umkehrfunktion berechnen

Meine Frage:
Hallo wir sollen zeigen dass f ein Einheitskreis bildet und die Umkehrfunktion berechnen.
$\begin{eqnarray*} f(C) \in B : = \left\{Z \in C|Z|< 1 \right\} \end{eqnarray*}$
Wie muss ich hier vorgehen ?

Meine Ideen:
Also wenn ich die Menge Z < 1 skizieren soll würde ich ein Kreis um den Nullpunkt der Koordinatenachsen skizzieren der ein Radius von 1 hat und diesen Kreis schraffieren.
Wie bringen ich das mit einer Funktion in Verbindung ?
Benötige ich vielleicht folgende Formel ? z/|(z|+a) für a=0 oder a=1 ?

Gruß Uschastik

07.06.2015, 16:33

Uschastik

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RE: Zeigen dass f ein Einheitskreis bildet und Umkehrfunktion berechnen
Ich sehe gerade dass dafür vielleicht eine Formel gebraucht wird. Die in der Aufgabe gegeben ist.
$\begin{eqnarray*} f: c -> C f(z):= \frac{z}{|z|+a } \end{eqnarray*}$

07.06.2015, 17:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Uschastik
Ich sehe gerade dass dafür vielleicht eine Formel gebraucht wird. Die in der Aufgabe gegeben ist.
$\begin{eqnarray*} f: c -> C f(z):= \frac{z}{|z|+a } \end{eqnarray*}$

Ja, könnte hilfreich sein (die Naivität dieses "vielleicht" ist mir nahezu unbegreiflich). Augenzwinkern

Es wäre sicher ebenfalls ganz hilfreich, etwas über die Voraussetzungen an $\begin{align*} a \end{align*}$ zu erfahren: Z.B. für reelle $\begin{align*} a\leq 0 \end{align*}$ ist die Aussage $\begin{align*} f(\mathbb{C})\in B \end{align*}$ falsch. unglücklich

09.06.2015, 20:54

Uschastik

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Komplexe Funktionen
Am besten ich tippe die Aufgabe koplett ab.

Moment...

09.06.2015, 21:42

Uschastik

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RE: Komplexe Funktionen
Ein sogenanntes Fischauge ist eine spezielle Linse in der Fotografie, die die Krüummung des Bildes zum Rand hin verstärkt. Durch eine Transformation der komplexen Ebene lässt sich der Effekt nachbilden: man betrachtet die Funktion.

$\begin{eqnarray*} f: C-> C, f(z):= \frac{z}{|z|+a} \end{eqnarray*}$

für ein fixiertes a > 0.

a)

Veranschaulichen Sie diese Funktion anhand von Polarkoordinaten. Auf welche Teilmenge von C wird die reelle Achse abgebildet? Zu welchen geometrischen Objekten werden Kreise um den Ursprung transformiert?

b)

Zeigen Sie, dass f in den Einheitskreis abbildet, d.h.

$\begin{eqnarray*} f(C), C , B := \left\{ z \in C |z|<1 \right\} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie dann die Umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} f^{-1} : B -> C \end{eqnarray*}$

Meine Fragen sind Dazu :

Wie fange ich an ? meine Vorschlag habe ich ganz am Anfang angegeben.
Würde diese Aufgabe mit euch gerne Step by Step durcharbeiten.

09.06.2015, 21:45

Uschastik

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RE: Komplexe Funktionen
Die Aufgabe a habe ich in anderen Forum drin deshalb hier nur b.
Wer aber Interesse an a hat, ..sehr gerne !!

10.06.2015, 12:55

HAL 9000

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Voraussetzung $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ ist doch genau das, was ich wissen wollte! Augenzwinkern

Was du bei b) nachweisen musst ist $\begin{align*} \left| \frac{z}{|z|+a} \right| < 1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} z\in\mathbb{C} \end{align*}$ .

Nun ist Nenner $\begin{align*} |z|+a \end{align*}$ bereits reell und positiv, kann also aus dem Betrag links herausgezogen werden, die Behauptung ist also äquivalent zu

$\begin{align*} \frac{|z|}{|z|+a} < 1 \end{align*}$ ,

und das dürfte doch nun nicht so schwierig nachzuweisen sein.

Zur Umkehrfunktion: Betrachte Argument und Funktionswert jeweils in der Polarform, d.h. $\begin{align*} z=re^{i\varphi} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} f(z)=Re^{i\Phi} \end{align*}$ , dann lässt sich aus dem gegebenen $\begin{align*} f(z)=\frac{z}{|z|+a} \end{align*}$ einiges schließen zum Zusammenhang von $\begin{align*} (r,\varphi) \end{align*}$ zu $\begin{align*} (R,\Phi) \end{align*}$ .

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