Randverteilung zweidimensionaler Normalverteilung

07.06.2015, 20:13	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Randverteilung zweidimensionaler Normalverteilung Guten Abend, ich muss folgende Aufgabe lösen: Sei $\begin{eqnarray} X=(X_1, X_2)^T \sim \mathcal{N} (\mu , \Sigma ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu=(\mu_1,\mu_2)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Sigma=\begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \sigma \\ \sigma & \sigma_2^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Die Randverteilung von $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ ist normalverteilt. Dazu habe ich folgende Definition: Eine vektorwertige Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X = (X_1, ... X_s)^T \end{eqnarray}$ mit der Dichtefunktion $\begin{eqnarray} f_X(x) = \frac{1}{(2 \pi)^{s/2} det(\Sigma)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T \Sigma^{-1} (x-\mu)} \end{eqnarray}$ nennt man normalverteilt mit Parametern $\begin{eqnarray} \mu \in \mathbb R^s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Sigma \in \mathbb R^s_s \end{eqnarray}$ . Man schreibt $\begin{eqnarray} X \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma) \end{eqnarray}$ . In der Tat haben wir nie eine Definition von Randverteilung gemacht, daher kann ich eigentlich nur raten, was zu tun ist. Ich hätte versucht, $\begin{eqnarray} f_{X_1}(x_1) = \int_{\mathbb R} f_X(x_1, x_2) d x_2 \end{eqnarray}$ so umzuformen, dass das Integral verschwindet und ich $\begin{eqnarray} f_{X_1}(x_1) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} a} e^{-\frac{(x-b)^2}{2a^2}} \end{eqnarray}$ mit irgendwelchen a, b erhalte. Allerdings ist das extrem unübersichtlich und ich bin daran gescheitert. Es drängen sich nun zwei Fragen auf: 1) Ist wirklich das zu zeigen, was ich machen will? 2) Falls ja, wie geht man am besten dabei vor? Ich bin sehr dankbar für eure Beiträge. Freundliche Grüße daLoisl
08.06.2015, 18:14	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Randverteilung zweidimensionaler Normalverteilung Hi, dein Ansatz stimmt. Beachte: $\begin{eqnarray} \frac 1{\sigma_1^2\sigma_2^2-\sigma^2}=\frac 1{\sigma_2^2(\sigma_1^2-\frac {\sigma^2}{\sigma_2^2})} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty \frac 1{\sqrt{2\pi \sigma_2^2}}\exp\left[-\frac 12(\frac {x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2\right]\, \mathrm dx_2=1 \end{eqnarray}$ . Als Ergebnis solltest du $\begin{eqnarray} X_1 \sim N \left(\mu_1 + \frac \sigma {\sigma_2} (X_2 - \mu_2), \sigma_1 - \frac {\sigma^2}{\sigma_2}\right) \end{eqnarray}$ erhalten.
08.06.2015, 19:23	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank für die Antwort! Ich habs nocheinmal versucht und bin zu einer Lösung gekommen. Allerdings glaube ich, dass du dich verrechnet hast, denn ich erhalte $\begin{eqnarray} X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2) \end{eqnarray}$ . Dies deckt sich auch mit dem, was ich schonmal irgendwo gelesen habe.
08.06.2015, 19:29	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das kann nicht stimmen. Dann wären X_1 und X_2 unkorreliert. Wikipedia bestätigt mein Ergebnis.
08.06.2015, 20:06	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich nach einem Link in die Wikipedia fragen? Ich bin so vorgegangen: $\begin{eqnarray} (x_2-\mu_2)^2 - 2 \frac{\sigma}{\sigma_2^2} (x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)= (x_2-\mu_2)^2 - 2 \frac{\sigma}{\sigma_2^2} (x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2) + \frac{\sigma^2}{\sigma_1^4}(x_1-\mu_1)^2 - \frac{\sigma^2}{\sigma_1^4}(x_1-\mu_1)^2 = ((x_2-\mu_2) - \frac{\sigma}{\sigma_1^2}(x_1-\mu_1))^2 - \frac{\sigma^2}{\sigma_1^4}(x_1-\mu_1)^2 \end{eqnarray}$ Dass verwende ich für: $\begin{eqnarray} <br /> f_{X_1}(x_1) = \int_{\mathbb R} f_X(x_1, x_2) d x_2<br /> = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_1^2}}e^{- \frac{(x_1 - \mu_1)^2}{2 \sigma_1^2}}<br /> \end{eqnarray}$ Ich hätte wirklich mehr Zwischenschritte angeben wollen, aber nach 30 Minuten Klammernsuchen schaffe ich es anscheinend nicht, das ganze in LaTeX zu schreiben.

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