Bestimmung Wahrscheinlichkeitsdichte

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bluhub Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung Wahrscheinlichkeitsdichte
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe folgendes problem:

Die Zufallsvariable ist so verteilt: X~N(sigma,x0). Der Zusammenhang zwischen y und x ist wie folgt: y = 1/x. nun soll ich die wahrscheinlichkeitsdichte von y bestimmen.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist wie folgt:
Fy(t) = P(Y<=t) = P(1/X<=t) = P(X<=1/t) = Fx(1/t)

-> fy(t) = d(Fx(1/t)/dt = -fx(1/t)*1/t^2 mit fx = 1/sqrt(2*pi*sigma^2)*exp(-(x-x0)^2/sigma^2)

so ist die wahrscheinlichkeitsdichte von y: fy(t) = -1/(t^2*sqrt(2*pi*sigma^2))*exp(-(1/t-x0)^2/sigma^2)

ist das so korrekt oder habe ich irgendwo einen denkfehler?
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung Wahrscheinlichkeitsdichte
Zitat:
Fy(t) = P(Y<=t) = P(1/X<=t) = P(X<=1/t) = Fx(1/t)


Das stimmt so nicht, im 3. Schritt dreht sich das <= um.

Zitat:
fy(t) = d(Fx(1/t)/dt = -fx(1/t)*1/t^2


Das Vorzeichen ist falsch, dein ist keine Dichte.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und auch ist falsch: Tatsächlich gilt bei genauerer Überlegung zur äquivalenten Umformung der Ungleichung:

für

für .

Den Sonderfall kann man sich natürlich auch noch überlegen. Augenzwinkern


Zitat:
Original von bluhub
so ist die wahrscheinlichkeitsdichte von y: fy(t) = -1/(t^2*sqrt(2*pi*sigma^2))*exp(-(1/t-x0)^2/sigma^2)

ist das so korrekt oder habe ich irgendwo einen denkfehler?

Die Tatsache, dass die von dir berechnete Dichte negativ ist, hätte dich nachdenklich machen müssen. Das sind banale, aber wie man sieht bisweilen wirksame Kontrollmechanismen - wenn man sie denn anwendet. unglücklich
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, vielen Dank HAL.

Da war ich mal wieder zu voreilig.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei diese "Verschiebungskonstanten"



(gültig für stetiges X) bei der Dichtebestimmung per Differenzieren nach dann allerdings herausfallen, insofern fallen Fehler wie oben im Endergebnis



dann gar nicht mehr auf. Augenzwinkern
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Schon, aber wenn die Aufgabe
Zitat:
Die Zufallsvariable ist so verteilt: X~N(sigma,x0). Der Zusammenhang zwischen y und x ist wie folgt: y = 1/x. nun soll ich die wahrscheinlichkeitsdichte von y bestimmen.

lautet und bepunktet wird, dann gibts halt nur die Hälfte unglücklich .
 
 
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