Beziehung unabhängiger Zufallsvariablen

07.06.2015, 20:38	Max1324	Auf diesen Beitrag antworten »
Beziehung unabhängiger Zufallsvariablen Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sei $\begin{eqnarray} (X_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray} E(\|X_1\|) < \infty \end{eqnarray}$ . Weiters sei $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ -wertige Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray} E(\|T\|) < \infty \end{eqnarray}$ und unabhängig von der Folge $\begin{eqnarray} (X_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} E(\sum\limits_{k=1}^{T} X_k) = E(T) E(X_1) \end{eqnarray}$ Als Hinweis habe ich erhalten dass man den folgenden Satz verwenden soll: Falls $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable auf $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal{F}, P) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} E(\|X\|) < \infty \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} \{A_k \}_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Partition des Zielraumes von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray} E(X) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} E(X\|A_k)P(A_k) \end{eqnarray}$ Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie man den Satz hier anwenden soll. Ich bin mir eigentlich nicht einmal sicher, wie er überhaupt funktionert, denn der bedingte Erwartungswert, den wir definiert haben, ist nicht von einem Ereignis sondern von einer Teilsigmaalgebra abhängig. Meine Vermutung lautet: $\begin{eqnarray} E(X\|A) = \frac{E(1_A X)}{P(A)} \end{eqnarray}$ Hat jemand einen Tipp, wie man dieses Beispiel lösen kann? Liebe Grüße Max
07.06.2015, 22:21	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Vermutung, was die Definition des bedingten Erwartungswerts angeht, ist korrekt. Geeignete Wahl von $\begin{eqnarray} X, A_k \end{eqnarray}$ (beachte: $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ nimmt nur die Werte $\begin{eqnarray} 1,2,\dots \end{eqnarray}$ an) im zitierten Satz löst in Verbindung mit der Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ die Aufgabe sehr schnell.
08.06.2015, 14:13	Max1324	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Mit der Wahl $\begin{eqnarray} A_k = T^{-1}(\{k\}) \end{eqnarray}$ hat es in der Tat geklappt!

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