Diagonalisierbarkeit

08.06.2015, 02:05

jordakia

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Diagonalisierbarkeit

Meine Frage:
Die Aufgabenstellung habe ich hochgeladen. Bei der ersten Aufgabe weiß ich leider einfach nicht wie ich anfangen soll und bräuchte unbedingt eine Starthilfe.

Meine Ideen:
Also, wann eine Abbildung diagonalisierbar ist, ist mir bewusst. Nämlich wenn es eine Basis B gibt, sodass die darstellende Matrix der Abbildung eine Diagonalmatrix ist. Und in dieser Diagonalen stehen die Eigenwerte zu der Basis.

Und jetzt frage ich mich wie ich hier ansetzen kann und was ich aus f°g=g°f für Schlussfolgerungen ziehen kann...

08.06.2015, 04:38

dastrian

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RE: Diagonalisierbarkeit
Beweise zunächst folgendes: Ist $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so ist wegen $\begin{eqnarray*} f \circ g = g \circ f \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , und zwar mit demselben Eigenwert.

Man kann also sagen: $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bildet jeden Eigenraum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf sich selbst ab... - aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat ja $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene Eigenwerte, d.h. die Eigenräme sind also eindimensional.

08.06.2015, 11:39

jordakia

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RE: Diagonalisierbarkeit
Okay also ich wuerde das so machen:
wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ Eigenvektor von f [und $\begin{eqnarray*} w \in g \end{eqnarray*}$ ] folgt aus ersterem: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda \cdot v = A\cdot v \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} g(w)=v \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} f(g(w))= \lambda \cdot v = A\cdot v \end{eqnarray*}$ ebenfalls. Da $\begin{eqnarray*} f(g(w))=g(f(v)) \Rightarrow f(v)=g(f(v)) \end{eqnarray*}$ .... aber dann waere $\begin{eqnarray*} g(f(v))=g( \lambda \cdot v)=g(A\cdot v ) \end{eqnarray*}$ wobei ich nicht mehr weiss was ich da folgern koennte, um darauf zu kommen, dass lambda ebenfalls Eigenwert von g ist..?

08.06.2015, 13:08

dastrian

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RE: Diagonalisierbarkeit
Bei dir ist jetzt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine darstellende Matrix von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \in g^{-1}(v) \end{eqnarray*}$ !?! Ich meinte aber, du solltest zeigen, dass mit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

08.06.2015, 14:40

jordakia

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ja, aber wie soll ich das denn dann anders zeigen? Ich dachte ich müsste die Definition anwenden, die für den Eigenwert Lambda ja Lambda*x=A*x ist, oder..? , wobei Lambda der zugehörige Eigenwert zum Vektor x ist und A die darstellende Matrix von f.

08.06.2015, 15:23

dastrian

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RE: Diagonalisierbarkeit
Du hattest dir ein $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ gewählt, sodass $\begin{eqnarray*} g(w)=v \end{eqnarray*}$ sein sollte (es kann übrigens vorkommen, dass gar kein solches $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ existiert) und dann $\begin{eqnarray*} g(w) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eingesetzt.
Ich meinte aber, du solltest einfach mal $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Sprich: Sei $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f(v) = \lambda v \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} f(g(v)) = ... \end{eqnarray*}$ (verwende hier nun $\begin{eqnarray*} f \circ g = g \circ f \end{eqnarray*}$ )

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08.06.2015, 23:22

jordakia

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RE: Diagonalisierbarkeit
okay, ich habs glaub ich:
Sei $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(v)= \lambda \cdot v \end{eqnarray*}$ und aus der Linearität folgt $\begin{eqnarray*} g(f(v))=g(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot g(v) \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} g(f(v))=f(g(v)) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(g(v))= \lambda \cdot g(v) \end{eqnarray*}$ ....so weit richtig?

08.06.2015, 23:47

dastrian

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RE: Diagonalisierbarkeit
Genau!! Also befinden sich $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ im selben Eigenraum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ...

Verwende jetzt die Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ n verschiedene (!) Eigenwerte hat.

09.06.2015, 18:49

jordakia

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RE: Diagonalisierbarkeit
Weil jeder Eigenvektor v=g(v) ist, gibt es nur diesen einen und somit sind die Eigenräume eindimensional Big Laugh

Big Laugh

Aber hat man mit dem Beweis eben dann bewiesen, dass es keinen weiteren Eigenvektor geben kann?

09.06.2015, 19:54

dastrian

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RE: Diagonalisierbarkeit

Zitat:

Original von jordakia
Weil jeder Eigenvektor v=g(v) ist, gibt es nur diesen einen und somit sind die Eigenräume eindimensional

Moment - wir haben nicht bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} v = g(v) \end{eqnarray*}$ ist (das muss auch nicht gelten), wir haben nur beweisen, dass mit $\begin{eqnarray*} f(v) = \lambda v \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(g(v)) = \lambda g(v) \end{eqnarray*}$ gilt.

Dass die Eigenräume eindimensional sind, folgt aus der anderen Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ n verschiedene Eigenräume hat, wobei n ja die Dimension des Vektorraums ist, in welchem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ "lebt".

Edit: Was meintest du mit deiner Frage, EV von welcher Abb.?

10.06.2015, 00:36

jordakia

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RE: Diagonalisierbarkeit
Dann hat sich das mit der Frage auch geklärt.... vielen dank. wie mache ich weiter?

10.06.2015, 00:59

dastrian

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RE: Diagonalisierbarkeit
Mit einer schlauen Schlussfolgerung: $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ liegen im selben Eigenraum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Aber alle Eigenräume von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sind eindimensinal. Also liegen $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ im selben eindimensionalen Unterraum... Was bedeutet denn das?

10.06.2015, 13:27

jordakia

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RE: Diagonalisierbarkeit
Dass v und g (v) Vielfache voneinander sind?

10.06.2015, 13:48

dastrian

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RE: Diagonalisierbarkeit
Genau!!! Sehr gut!

(Minimale Vorsicht ist geboten: $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist nicht Null, denn wir hatten ja vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, und zwar ist der Nullvektor ein Eigenvektor jeder quadratischen Matrix, aber aus genau diesem Grund eben völlig uninteressant, uns interessieren also nur Eigenvektoren ungleich 0. Dagegen kann $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ aber durchaus 0 sein. Deswegen können wir jetzt nur sagen: " $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ ist ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ", aber nicht unbedingt " $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ ")

Wir haben also $\begin{eqnarray*} g(v) = \tau v \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \tau \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ - und damit sind wir eigentlich schon am Ziel...

10.06.2015, 20:02

jordakia

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ahja danke, ich habs geblickt! Dieser Beitrag hat mir sowas von weitergeholfen!!
Und zur Aufgabe (b), Eine Abbildung L (V,V) ist nur diagonalisierbar, wenn sie dim (V)=n verschiedene Eigenwerte hat. Das heißt wäre es richtig so vorzugehen dass man sagt dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zb n-1 verschiedene Eigenwerte hat.. aber wie gebe ich so einen K-Vektorraum an?

10.06.2015, 20:31

jordakia

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RE: Diagonalisierbarkeit
Ah nee Moment, ich glaube ich hab das falsch verstanden mit (b).
f muss schon diagonalisierbar sein, oder... also braucht man eine Matrix mit nicht n verschiedenen Eigenwerten, die diagonalisierbar ist, wie die Einheitsmatrix. Die hat ja nur einen Eigenwert... Aber darf g jetzt alleine schon nicht diagonalisierbar sein? Oder muss g auch diagonalisierbar sein?

10.06.2015, 22:54

dastrian

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RE: Diagonalisierbarkeit

Zitat:

Original von jordakia
Ahja danke, ich habs geblickt! Dieser Beitrag hat mir sowas von weitergeholfen!!

smile

Zitat:

Und zur Aufgabe (b), Eine Abbildung L (V,V) ist nur diagonalisierbar, wenn sie dim (V)=n verschiedene Eigenwerte hat.

Das ist nicht die Aussage von b), sondern gezeigt werden soll hier, dass auf die Voraussetzung in a), dass die n Eigenvektoren von f verschieden sind, nicht verzichtet werden kann.

Bemerke, dass diese Voraussetzung in unserer Beweisführung an entscheidender Stele verwendet wurde. Die Frage ist, ob die Aussage von a) trotzdem gilt, wenn wir das Wort "verschiedene" streichen. In b) soll ein Gegenbeispiel gefunden werden, welches zeigt, dass die Aussage dann nicht mehr gilt.

Aber es können durchaus Matrizen diagonalisierbar sein, deren Eigenwerte nicht paarweise verschieden sind. Zum Beispiel die Identität (soll heißen: die Einheitsmatrix) in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ² \end{eqnarray*}$ , d.h $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ . Dies ist eine Diagonalmatrix, also natürlich die "diagonalisierbar". Aber jeder Vektor ist ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und zwar alle mit Wert 1...

Das ist auch schon ein großer Tipp für Aufgabe b)!!!

EDIT: Hab jetzt erst deinen zweiten Beitrag gelesen. g muss nicht diagonalisierbar sein

11.06.2015, 21:16

jordakia

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RE: Diagonalisierbarkeit
Okay, das heißt ich nehme die Einheitsmatrix für f und eine Matrix, die nicht diagonalisierbar ist für g. Dann gilt ja f°g=g°f. Und wenn g nicht diagonalisierbar ist, können f und g ja auch nicht simultan diagonalisierbar sein.. Und die Bedingung dafür, dass eine Matrix nicht diagonalisierbar ist, ist, dass die geometrische Vielfachheit für einen beliebigen Eigenwert kleiner ist als die algebraische Vielfachheit. Dann nehme ich einfach eine 2x2 Matrix und tu in a_11 und a_22 die gleichen Werte und somit komme ich auf eine doppelte Nullstelle im charakteristischen Polynom und daraus würde ja dann geom.Vielf.<algebr.Vielf. folgen, oder?
Und bei (c) glaube ich zu wissen wie man das macht. Und bei (d) würde ich einfach ein Gleichungssystem aufstellen und das lösen.
Sind das so weit die richtigen Ansätze..?
LG smile

smile

11.06.2015, 21:55

dastrian

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RE: Diagonalisierbarkeit

Zitat:

Und die Bedingung dafür, dass eine Matrix nicht diagonalisierbar ist, ist, dass die geometrische Vielfachheit für einen beliebigen Eigenwert kleiner ist als die algebraische Vielfachheit.

Nein, eine Matrix kann über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ z.B. einfach keine Eigenwerte haben, betrachte beispielswiese $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die "Drehung um 90 Grad".

Zitat:

Dann nehme ich einfach eine 2x2 Matrix und tu in a_11 und a_22 die gleichen Werte und somit komme ich auf eine doppelte Nullstelle im charakteristischen Polynom und daraus würde ja dann geom.Vielf.<algebr.Vielf. folgen, oder?

Auch das stimmt nicht, Geenbeispiel ist wieder die Einheitsmatrix.

Zitat:

Und bei (d) würde ich einfach ein Gleichungssystem aufstellen und das lösen.

Ja, in gewisser Weise berechnest du dadurch aber die Inverse, was man ja nicht machen soll. Verwende c)

12.06.2015, 23:18

jordakia

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Aber wenn ich die Matrix a_11,a_22= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und a_12=1 a_21=0 nehmen würde wäre sie doch nicht diagonalisierbar, richtig...? Würde die nicht als g durchgehen?

12.06.2015, 23:40

dastrian

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Aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist doch bereits diagonal...

13.06.2015, 00:23

jordakia

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Aber die Matrix soll ja noch oben links bei a_12=1 sein.. dann ist sie ja noch nicht diagonal, sondern ne obere dreiecksmatrix. Ich dachte ich hätte sowas in meinem Skript gelesen, aber vielleicht muss ich das dann nochmal nachlesen.. Bin grade am Handy und kann keine Latex Schreibweise mit ner Matrix machen.

13.06.2015, 00:36

dastrian

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Entschuldige, ich hatte mich verlesen. Du hast recht, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist nicht diagonalisierbar! Mit dieser Matrix als g und der Einheitsmatrix als f hast du also ein Gegenbeispiel für b)

13.06.2015, 22:15

jordakia

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Okay. Und wie kann ich (c) in (d) benutzen?

14.06.2015, 03:46

dastrian

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Naja, in c) bekommst du eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ mit der sehr schönen Eigenschaft, dass sie sowohl $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ "diagonalisiert".

Jetzt will man $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ suchen mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \lambda E v = A v \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, kann man genausogut $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \lambda E S w = A S w \end{eqnarray*}$ suchen. Wende hierauf c) an.

14.06.2015, 22:49

jordakia

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Gut, danke für deine Hilfe und jetzt beende ich das hiermit smile

smile

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