Sinus Betrag abschätzen

08.06.2015, 02:23	crono686	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinus Betrag abschätzen Guten Abend Matheboard, kürzlich hatte ich bereits wegen einem eher einfacherem Sachverhalt nachgefragt und durch eure Hilfe eine Lösung finden können. Dieses Mal habe ich ein Problem mit einer Abschätzung wo ich schon länger dran sitze und einfach nicht weiß, wie ich den Tipp des Profs sinnvoll anwenden soll. $\begin{eqnarray} <br /> \bigg\| \frac{\sin(\frac{m\phi}{2})}{\sin(\frac{\phi}{2})} \bigg\| \geq \frac{2}{\pi}m <br /> \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} <br /> \phi \in [-\frac{\pi}{m};\frac{\pi}{m}]\backslash \{0\}, \ m \in \mathbb{N}<br /> \end{eqnarray}$ Der Tipp war, dass $\begin{eqnarray} <br /> \frac{2}{\pi}m <br /> \end{eqnarray}$ als Gerade zu interpretieren ist und damit die Ungleichung erfüllt ist muss der Sinus Teil ja oberhalb der Geraden liegen. Habe schon in alle möglichen Rechenregeln vom Sinus reingeschaut und da hilft mir irgendwie nichts von diese Ungleichung rechnerisch nachzuweisen. Genau wie letztes mal wäre ein einfacher Tipp sehr hilfreich, damit ich nicht noch länger daran sitze und verzweifle. mfg crono
08.06.2015, 10:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{align} x>0 \end{align}$ gilt $\begin{align} \sin(x) < x \end{align}$ , und für $\begin{align} 0\leq x\leq \frac{\pi}{2} \end{align}$ andererseits $\begin{align} \sin(x)\geq \frac{2}{\pi}x \end{align}$ : . Die erste Abschätzung im Nenner, die zweite im Zähler deiner Behauptung angewandt, liefert die gewünschte Abschätzung. Viel nachzuweisen ist da nicht bei der zweiten Abschätzung: Da der Sinus konkav im Intervall $\begin{align} [0,\pi] \end{align}$ ist, liegt sein Graph im Teilintervall $\begin{align} [a,b]\subseteq [0,\pi] \end{align}$ oberhalb der Verbindungsstrecke der Punkte $\begin{align} (a,f(a)) \end{align}$ und $\begin{align} (b,f(b)) \end{align}$ , speziell auch für $\begin{align} a=0 \end{align}$ und $\begin{align} b=\frac{\pi}{2} \end{align}$ .
09.06.2015, 00:34	crono686	Auf diesen Beitrag antworten »
Langsam glaube ich, dass ich etwas anderes studieren sollte. Vielen Dank für Hilfe, das mat mir sehr geholfen.

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