Zahlenfolge

09.06.2015, 11:24

epsilonBaumi

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Hei Leute,

mache zurzeit nen Studienaustausch in Finnland und bin des finnisch' nicht so mächtig, als dass ich alles aus der Vorlesung verstehen würde verwirrt

verwirrt

Big Laugh

Hier meine Aufgabe:

"Die Folge $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{}^{} a_{k}(x-x_{0})^{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert für einige $\begin{eqnarray*} x_{1}, x_{1}\neq x_{0} \end{eqnarray*}$
a) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} |a_{k}|\leq \frac{M}{|x_{1}-x_{0}|^{k}} \end{eqnarray*}$ für alle k.
b) Zeige, dass die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{}^{}| a_{k}(x-x_{0})^{k} | \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} |x-x_{0}|<|x_{1}-x_{0}| \end{eqnarray*}$ ."

Ich habe leider gar keinen Ansatz traurig

traurig

Push-Beitrag gelöscht, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

09.06.2015, 12:16

IfindU

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Zu a)
Aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum a_k(x_1 - x_0)^k \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} k\mapsto a_k(x_1 - x_0)^k \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, insbesondere ist diese beschränkt. Daraus folgt schon alles.

Zu b)
Schätze in jedem Folgenglied das $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ durch die Abschätzung von a) ab und du erhälst eine geometrische Reihe.

09.06.2015, 12:31

epsilonBaumi

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Hei vielen Dank für deine Hilfe!! smile

smile

zu a)
Also da wir ja wissen dass die Summe der Folge für einige $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ konvergiert und somit die Folge eine Nullfolge und beschränkt sein muss, brauch ich die Ungleichung nur Umformen:
$\begin{eqnarray*} |a_{k}|\leq \frac{M}{|x_{1} -x_{0}|^{k}} \Leftrightarrow |a_{k}||x_{1}-x_{0}|^{k}\leq M \end{eqnarray*}$ und habe wieder meine beschränkte Nullfolge, die kleiner/gleich einem beliebigen M ist(?)

zu b)
Wie stell ich das mit der Abschätzung an? O.O verwirrt

verwirrt

09.06.2015, 12:36

IfindU

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Zu a)
Im Prinzip richtig. Ich würde allerdings andersrum vorgehen:
$\begin{eqnarray*} k \mapsto a_k(x_1 - x_0)^k \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, d.h. es existiert ein $\begin{eqnarray*} M > 0 \end{eqnarray*}$ s.d.
$\begin{eqnarray*} | a_k (x_1 - x_0)^k| \leq M \end{eqnarray*}$ für alle k. Die letzte Ungleichung ist damit äquivalent zur geforderten Ungleichung.

Zu b)
Versuche doch einfach etwas. Wenn du es richtig machst, ist es super -- wenn du es falsch machst, weißt du es fürs nächste Mal. Du kannst dabei also nur gewinnen beim probieren -- beim nicht-probieren verhält es sich schon deutlich anders.

09.06.2015, 12:57

epsilonBaumi

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naja könnte ich sagen, dass aus a) $\begin{eqnarray*} |a_{k} |\leq \frac{M}{|x_{1}-x_{0}|^{k}} \end{eqnarray*}$ in b) eingesetzt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{}^{} |a_{k}(x_{1}-x_{0})^{k}|\leq \sum\limits_{}^{}\frac{M}{|x_{1}-x_{0}|^{k}}|x-x_{0}|<\sum\limits_{}^{}\frac{M}{|x_{1}-x_{0}|^{k}}|x_{1}-x_{0}| = M \end{eqnarray*}$ ergibt und somit gegen ein beliebiges M konvergiert(?) verwirrt

verwirrt

Big Laugh

09.06.2015, 13:42

IfindU

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Es fehlt im Exponenten jeweils das k. Und was du gemacht hast ist bis zum letzten Schritt richtig. Dort steht dann leider
$\begin{eqnarray*} \sum M \end{eqnarray*}$ , und das ergibt eben nicht $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} M + M + M + \dots = \infty \end{eqnarray*}$ .

Das Problem ist, dass deine letzte Abschätzung zu strikt ist. Du hast $\begin{eqnarray*} \frac { 1 }{ | x_1 - x_0|^k } | x - x_0|^k \end{eqnarray*}$ . Das kannst du zu $\begin{eqnarray*} \left ( \frac { | x - x_0 | } { | x_1 - x_0| }\right)^k = q^k \end{eqnarray*}$ zusammenfassen, für $\begin{eqnarray*} q = \frac { | x - x_0 | } { | x_1 - x_0| } \end{eqnarray*}$ .

Dann musst du begründen warum $\begin{eqnarray*} \sum M q^k \end{eqnarray*}$ konvergiert.

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10.06.2015, 10:21

epsilonBaumi

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Ach ja stimmt! Hatte $\begin{eqnarray*} \frac{|x_{1}-x_{0}|}{|x_{1}-x_{0}|^{k}} \end{eqnarray*}$ aus irgendeinem Grund rausgekürzt - was ja eig vollkommener Schwachsinn und falsch wäre.. Hammer

Hammer

- aber gut:

$\begin{eqnarray*} (\frac{|x_{}-x_{0}|}{|x_{1}-x_{0}|}) ^{k} \end{eqnarray*}$ ist dann für $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, da $\begin{eqnarray*} |x-x_{0}|<|x_{1}-x_{0}| \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \frac{|x_{}-x_{0}|}{|x_{1}-x_{0}|}<1 \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine konstante Zahl ist, konvergiert die Summe im Unendlichen. Oder? smile

smile

10.06.2015, 13:01

IfindU

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Im Prinzip ja, aber nur weil man über eine Nullfolge summiert, heißt nicht, dass am Ende was endliches bei herauskommt (siehe Harmonische Reihe).

10.06.2015, 13:07

epsilonBaumi

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Meinst du das $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?

10.06.2015, 13:08

IfindU

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Zitat:

Original von epsilonBaumi
$\begin{eqnarray*} (\frac{|x_{}-x_{0}|}{|x_{1}-x_{0}|}) ^{k} \end{eqnarray*}$ ist dann für $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge [...]. Und da $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine konstante Zahl ist, konvergiert die Summe im Unendlichen. Oder? smile

smile

Das meine ich

10.06.2015, 13:24

epsilonBaumi

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Ja, habe dierekt nachdem ich nach dem M gefragt hatte die Frage verstanden. Ich dachte nur, dass
- da

Zitat:

somit $\begin{eqnarray*} \frac{|x_{}-x_{0}|}{|x_{1}-x_{0}|}<1 \end{eqnarray*}$

und da der Bruch zur Potenz $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ ist, dachte ich dass dieser dann gegen 0 läuft und somit die Summe konvergiert (auch für $\begin{eqnarray*} k= 1 \end{eqnarray*}$ ..?).

Dass die allgemeine harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha\leq 1 \end{eqnarray*}$ divergiert, verstehe ich (denke ich), aber $\begin{eqnarray*} k^\alpha \end{eqnarray*}$ könnte hier auch kleiner/gleich 1 sein, oder?

10.06.2015, 13:29

HAL 9000

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merkwürdiges Ablenkungsmanöver

Zitat:

Original von epsilonBaumi
Dass die allgemeine harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha\leq 1 \end{eqnarray*}$ divergiert, verstehe ich

Warum sprichst du über eine Reihe, die nichts mit dem vorliegenden Fall zu tun hat? Hier geht es doch um geometrische Reihen $\begin{align*} \sum_k q^k \end{align*}$ . verwirrt

verwirrt

10.06.2015, 13:39

epsilonBaumi

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RE: merkwürdiges Ablenkungsmanöver
Weil mir diese als Hinweis gegeben wurden smile

smile

10.06.2015, 13:48

HAL 9000

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Für eine andere Aufgabe womöglich - nicht für diese. Teufel

Teufel

10.06.2015, 13:50

epsilonBaumi

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Zitat:

Im Prinzip ja, aber nur weil man über eine Nullfolge summiert, heißt nicht, dass am Ende was endliches bei herauskommt (siehe Harmonische Reihe).

Eigentlich hatte mich nur jemand - in diesem Thread :P - auf etwas hingewiesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.06.2015, 13:50

IfindU

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Er hat mich vermutlich nur falsch verstanden. Ich habe die harmonische Reihe als Beispiel einer divergenten Reihe trotz der Summation über eine Nullfolge gegeben.

D.h. damit willst du hier nicht argumentieren, sondern eben, dass $\begin{eqnarray*} \sum q^k \end{eqnarray*}$ wirklich existiert.

10.06.2015, 13:53

epsilonBaumi

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Ju, hatte es auch nur als Hinweis zum verdeutlichen und nicht als Argument verstanden Freude

Freude

Augenzwinkern

10.06.2015, 13:54

epsilonBaumi

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Und ich wollte damit auch nicht argumentieren, falls es so rüberkam Hammer

Hammer

10.06.2015, 13:56

HAL 9000

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Na dann entschuldigt die Störung, aber die schräge Nachfrage

Zitat:

Original von epsilonBaumi
aber $\begin{eqnarray*} k^\alpha \end{eqnarray*}$ könnte hier auch kleiner/gleich 1 sein, oder?

brachte mich dazu, den ganzen irrelevanten Zweig am besten gleich abzuwürgen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.06.2015, 13:59

epsilonBaumi

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Haha dann sage ich nicht "Trotzdem danke" - weil ich dich nicht vergraulen mag^^ aber danke fürs Abhalten vom "Drumherumlabern" von mir! Big Laugh

Big Laugh

Freude

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