Ober-/Untersummen

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08.06.2015, 15:29	Radlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ober-/Untersummen Hallo Leute, hab hier eine vermutlich relativ simple Aufgabe, aber irgwie steh ich trotzdem voll aufm Schlauch: "Sei $\begin{eqnarray} f : [0,2] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = x^{2} +2 \end{eqnarray}$ . Zeige, dass f integrierbar auf dem Intervall [0,2] ist und berechne das Integral durch die Nutzung von Unter- und Obersummen. Hinweis: $\begin{eqnarray} 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$ ." Zu erst habe ich mir ueberlegt, dass ich - da ich ja auch mit den Untersummen rechne - ja auch $\begin{eqnarray} 0^{2}+1^{2}+...+(n-1)^{2}= \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \end{eqnarray}$ brauche. Nun habe ich mir zuerst verständnishalber mal das ganze nur mit x^2 angeschaut: -bei den Untersummen: $\begin{eqnarray} U_{n}= \sum\limits_{k=1}^{n} min[f(x): (k-1)\frac{1}{n} \leq x \leq k\frac{1}{n} ]\frac{1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{k-1}{n})^{2}\frac{1}{n}=\frac{1}{n^{3}}\sum\limits_{k=0}^{n-1} k^{2}=\frac{1}{n^{3}} \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \end{eqnarray}$ , sodass ich durch den Grenzwert $\begin{eqnarray} A_{U}=\lim_{a \to \infty } U_{n}=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ erhalte -bei den Obersummen: $\begin{eqnarray} O_{n}= \sum\limits_{k=1}^{n} max[f(x): (k-1)\frac{1}{n} \leq x \leq k\frac{1}{n} ]\frac{1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^{2}\frac{1}{n}=\frac{1}{n^{3}}\sum\limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{n^{3}} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$ , sodass ich durch den Grenzwert ebenfalls $\begin{eqnarray} A_{O}=\lim_{a \to \infty } O_{n}=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ erhalte. Da die Ober- und Untersummen identisch sind, sollte die Funktion auch integrierbar sein (wie beweise ich es sonst? ) So, nun zu $\begin{eqnarray} f(x)=x^{2}+2 \end{eqnarray}$ , allerdings war ich mir hierbei nicht ganz sicher wohin das "+2" gehört: -bei den Untersummen: $\begin{eqnarray} U_{n}= \sum\limits_{k=1}^{n} min[f(x): (k-1)\frac{1}{n} \leq x \leq k\frac{1}{n} ]\frac{1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}((\frac{k-1}{n})^{2}+2)\frac{1}{n}=\frac{2n}{n}+\frac{1}{n^{3}}\sum\limits_{k=0}^{n-1} k^{2}=2+\frac{1}{n^{3}} \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \end{eqnarray}$ , sodass ich durch den Grenzwert $\begin{eqnarray} A_{U}=\lim_{a \to \infty } U_{n}=2+\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ erhalte -bei den Obersummen: $\begin{eqnarray} O_{n}= \sum\limits_{k=1}^{n} max[f(x): (k-1)\frac{1}{n} \leq x \leq k\frac{1}{n} ]\frac{1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} ((\frac{k}{n})^{2}+2)\frac{1}{n}=\frac{2n}{n}+\frac{1}{n^{3}}\sum\limits_{k=1}^{n} k^{2}=2+\frac{1}{n^{3}} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$ , sodass ich durch den Grenzwert ebenfalls $\begin{eqnarray} A_{O}=\lim_{a \to \infty } O_{n}=2+\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ erhalte. Oder sind die 2en falsch platziert?
08.06.2015, 15:44	magic_hero	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnungen sind schon in Ordnung, aber sie passen nicht zu deiner ursprünglichen Aufgabenstellung, denn da lebt die Funktion f auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,2] \end{eqnarray}$ . Das solltest du noch korrigieren, es sei denn, es ist $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ gemeint.
09.06.2015, 08:24	Radlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort Jaaa das wollte ich eigentlich auch fragen, wie ich von [0,1] auf [0,2] springe
09.06.2015, 08:41	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt halt die Intervalle $\begin{eqnarray} [(k-1) \frac 2 n; k \frac 2 n] \end{eqnarray}$ betrachten. Beachte, daß sich dabei auch die Intervalllänge ändert.
09.06.2015, 09:23	Radlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie beachte ich das? also dass ich die Unterteilungenauf $\begin{eqnarray} \frac{2}{n} \end{eqnarray}$ anpassen muss hab ich mir schon gedacht. Aber was muss ich denn bei der Intervalllänge beachten? also na klar [0,2] statt [0,1], aber was muss ich dann in meinen Rechnungen sonst ändern?
09.06.2015, 09:40	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, du mußt erstmal die Formel für die Unter- bzw. Obersumme anpassen. Das sollte ja auch kein Problem, wenn du weißt, welcher Term welche Bedeutung hat.
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09.06.2015, 10:44	Radlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, meintest du so?: -für Untersummen: $\begin{eqnarray} U_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}min\left[f(x): (k-1)\frac{2}{n}\leq x\leq k\frac{2}{n} \right] = \sum\limits_{k=1}^{n} ((\frac{2(k-1)}{n})^{2} +2)\frac{2}{n}= \frac{2(2n)}{n} +(\frac{2}{n})^{3}\sum\limits_{k=0}^{n-1} k^{2}=4+\frac{8}{n^{3}} \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \end{eqnarray}$ mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray} A_{U}=\lim_{n \to \infty b} U_{n}=4+\frac{8}{3} \end{eqnarray}$ -für Obersummen: $\begin{eqnarray} O_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}max\left[f(x): (k-1)\frac{2}{n}\leq x\leq k\frac{2}{n} \right] = \sum\limits_{k=1}^{n} ((\frac{2k)}{n})^{2} +2)\frac{2}{n}= \frac{2(2n)}{n} +(\frac{2}{n})^{3}\sum\limits_{k=1}^{n} k^{2}=4+\frac{8}{n^{3}} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$ mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray} A_{O}=\lim_{n \to \infty b} O_{n}=4+\frac{8}{3} \end{eqnarray}$
09.06.2015, 12:49	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja mit folgender Verbesserung: $\begin{eqnarray} U_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \left(min\left[f(x): (k-1)\frac{2}{n}\leq x\leq k\frac{2}{n} \right] \right) \cdot \frac 2 n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} O_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \left(max\left[f(x): (k-1)\frac{2}{n}\leq x\leq k\frac{2}{n} \right] \right) \cdot \frac 2 n \end{eqnarray}$
09.06.2015, 13:00	epsilonBaumi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach jaaaa! Mist schon wieder was vergessen hatte den Bruch ja vorher noch drinne, ist nur im Latex-Formeleditor so unübersichtlich
09.06.2015, 13:16	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
@epsilonBaumi/Radlos: Mehrfachaccounts sind im Board nicht erwünscht. Wir werden Radlos daher demnächst löschen.
10.06.2015, 10:05	epsilonBaumi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja sry, war an der Uni und hatte mich nicht mehr an das Passwort erinnert, deswegen hatte ich noch Radlos erstellt gehabt..

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