Äquivalenz von Gittern |
| 08.06.2015, 22:25 | lattice | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey Leute, ich habe mal wieder eine Frage zu Gittern^^ Seien A=(a_ij) und B=(b_ij) die Generator-Matritzen zweier Gitter gleicher Dimension, mit den Basen a1,...,an bzw. b1,...,bn (welche die Matrix jeweils bilden). Wenn die inneren Produkte der Basisvektoren alle gleich sind (d.h. a_i*a_j = b_i*b_j für alle i,j = 1,...,n), sind dann die Gitter äquivalent? Zur Definition von Äquivalenz: Zwei Gitter heißen äquivalent, wenn sie durch eine Rotation, Spiegelung oder Änderung der Skala ineinander überführt werden können. Zwei Generatormatrizen M und M' erzeugen äquivalente Gitter, wenn M' = cUMB, mit einer Konstanten c, einer Matrix U mit ganzzahligen Einträgen und detU=+-1 und einer reellen Orthogonalmatrix B. Meine Ideen: Hmm, also soweit ich weiß, hat das innere Produkt (oder Skalarprodukt, wie man will) eine geometrische Bedeutung, es hängt irgendwie mit dem "Raumwinkel" zwischen den beiden Vektoren zusammen. Naja und wenn die beiden Mengen der Basisvektoren die gleichen inneren Produkte haben, dann sind sie doch in diesem Sinne "geometrisch gesehen gleich". Daher hoffe ich, dass diese Gleichheit auch tatsächlich bedeutet, dass die Gitter dann äquivalent sind, also man nur noch das gesamte Gitter drehen oder spiegeln muss, um auf das andere Gitter zu kommen. Ich habe allerdings weder Lust noch Zeit, das zu beweisen und wollte mich damit nicht so lange aufhalten. Daher hoffe ich, dass jemand von euch meine Vermutung bestätigen kann 
Vielen Dank! Edit: Mir ist ein bisschen was dazu aufgefallen. Das mit den inneren Produkten scheint durchaus wichtig zu sein, denn: Für eine Generator-Matrix M definiert man die Gram-Matrix A=M*M^tr. In der Gram-Matrix ist der i-j-te Eintrag dann das innere Produkt des i-ten und j-ten Basisvektors. Hier (in so einem Buch von Conway) steht dann, dass für zwei äquivalente Gitter die Gram-Matrizen durch A'=c²UAU^tr in Verbindung stehen. Sprich, wenn sie äquivalent sind, dann hängen auch die inneren Produkte auf diese Weise irgendwie zusammen. Die Frage ist daher nun die Rückrichtung: Wenn die Gram-Matrizen so in einem Zusammenhang stehen (bei gleichen inneren Produkten wäre c=1 und U die Einheitsmatrix), sind dann die Gitter äquivalent? Anders formuliert: Folgt aus A'=c²UAU^tr (mit Konstante c, U Matrix mit ganzzahligen Einträgen und detU=+-1) und A=M*M^tr, dass M' = cUMB (mit einer Orthogonalmatrix B)? das ist also eine rein "rechnerische" Frage und mit diesem Matrixzeug kenne ich mich nicht so aus. Aber ich denke, das können hier ein paar Leute beantworten, oder?^^ Zwei Beiträge zusammengefügt. Steffen |
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