Skalarprodukte durch Gewichtsfunktion

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Manecas Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukte durch Gewichtsfunktion
Hallo zusammen,

ich stehe momentan vor der Frage, welche Eigenschaften eine Gewichtsfunktion haben muss, um durch



ein Skalarprodukt zu induzieren.
Klar ist mir, dass diese Funktion integrabel sein sollte. Außerdem sollte es ein Integralwert echt größer Null annehmen, da z.B. die Funktion, die überall auf der reellen Achse Null ist und nur in 1 einen Wert annimmt, kein Skalarprodukt erzeugt.

Welche Eigenschaften muss diese Gewichtsfunktion also haben?
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukte durch Gewichtsfunktion
Gegenfrage: Auf welchem Raum soll das denn ein Skalarprodukt induzieren. SPrich: Welche Voraussetzungen, stellst du an f und g?

Ich schätze Mal, du meinst (wenn sie nämlich zum Beispiel nach abbilden, dann erhälst du nur dann ein (komplexes!) Skalarprodukt, wenn du eine der beiden Funktionen komplex konjugierst) und forderst noch Integrabilität oder soger Stetigkeit?

Ansonsten würde ich, um deine Frage zu beantworten, einfach nacheinander die Skalarproduktaxiome durchgehen und versuchen, sie in "Axiome"/Forderungen an zu übersetzen. Allerdings sehen diese Übersetzungen im Fall der stetigen Funktionen viel einfacher aus als im Raum der Integrierbaren Funktionen -- für letzteren braucht man einige Grundzüge der Maßtheorie.
Manecas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukte durch Gewichtsfunktion
Tschuldige ...
völlig richtig, es geht mir um Funktionen die nach abbilden.

Meine Frage entspringt der Auseinandersetzung mit Gaußquadraturen. Daher denke ich, dass auch nur integrierbare Funktionen relevant sind.

Was ich nun fordere ist also:

1. Linearität:


2. Symmetrie:

3. Positivität: und genau dann wenn

wobei f,g,h integrable Funktionen, und (habe zudem das Omega als Index weggelassen).

Das dritte Axiom bestätigt mir ja schonmal meine erste Vermutung, die war, dass die Gewichtsfunktion einen Integralwert größer Null annehmen sollte. Außerdem sollte sie den Wert Null wohl nur auf einer Nullmenge annehmen, da sonst Funktionen, die im Funktionenraum nicht mit der Nullfunktion identifiziert werden, im Skalarprodukt den Wert Null annehmen könnten.
... Die weiteren Axiome helfen mir gerade aber nicht weiter, Forderungen an die Gewichtsfunktion zu stellen :/

Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
epsilon90 Auf diesen Beitrag antworten »

Typischerweise ist nichtnegativ, stetig und fast überall nicht Null. Also deine Vermutungen waren soweit richtig.
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukte durch Gewichtsfunktion
Zitat:
Original von Manecas
Das dritte Axiom bestätigt mir ja schonmal meine erste Vermutung, die war, dass die Gewichtsfunktion einen Integralwert größer Null annehmen sollte. Außerdem sollte sie den Wert Null wohl nur auf einer Nullmenge annehmen, da sonst Funktionen, die im Funktionenraum nicht mit der Nullfunktion identifiziert werden, im Skalarprodukt den Wert Null annehmen könnten.
... Die weiteren Axiome helfen mir gerade aber nicht weiter, Forderungen an die Gewichtsfunktion zu stellen :/


Genau - die anderen Funktionen sind nämlich von unabhängig erfüllt. (Solange das Integral existiert, was es für integrierbares ja immer tut.) Mit dem dritten Axiom musst du allerdings aufpassen: Nicht nur das Integral über muss gößer 0 sein, sondern an sich muss fast überall positiv sein!
Manecas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukte durch Gewichtsfunktion
Ok, also erhalte ich aus der Positivität des Skalarprodukts, dass meine Gewichtsfunktion integrabel, nicht negativ und ungleich Null fast überall sein muss. Ich sehe gerade auch kein Problem bei den anderen beiden Axiomen, da die Multiplikation kommutativ ist und das Integral linear.

Woher stammt also die Bedingung, dass die Gewichtsfunktion stetig sein muss? Ist das eine etwas zu eng gefasste Bedingung um die Integrierbarkeit zu sichern?
 
 
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukte durch Gewichtsfunktion
Ja - wobei ganz korrekt muss schon deshalb integrabel sein, damit dein Skalarprodukt überhaupt definiert ist.

Nach allem, was wir jetzt herausgefunden haben, ist die Stetigkeit von tatsächlich eine stärkere Bedingung, als man es eigentlich bräuchte, aber epsilon90 schrieb ja auch "typischerweise".
Manecas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukte durch Gewichtsfunktion
Alles klar, vielen Dank!
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