Kovarianz der zweidimensionalen Normalverteilung

08.06.2015, 21:33	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovarianz der zweidimensionalen Normalverteilung Guten Abend! Ich sitze gerade bei folgendem Problem: Sei $\begin{eqnarray} X=(X_1, X_2)^T \sim \mathcal{N} (\mu , \Sigma ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu=(\mu_1,\mu_2)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Sigma=\begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \sigma \\ \sigma & \sigma_2^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie die Kovarianz $\begin{eqnarray} V(X_1,X_2) \end{eqnarray}$ sowie die Korrelation $\begin{eqnarray} \rho(X_1,X_2) \end{eqnarray}$ . Ich weiß bereits, dass für die Randverteilungen gilt: $\begin{eqnarray} X_1 \sim \mathcal{N} (\mu_1 , \sigma_1^2 ) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} X_2 \sim \mathcal{N} (\mu_2 , \sigma_2^2 ) \end{eqnarray}$ . Weiters gilt ja $\begin{eqnarray} V(X_1, X_2) = E(X_1 X_2) - E(X_1)E(X_2) \end{eqnarray}$ . Da die beiden Zufallsvariablen im Allgemeinen nicht unabhängig sind, habe ich versucht, eine Dichtefunktion für $\begin{eqnarray} X_1 X_2 \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Ich habe wo gelesen, dass für die Dichte des Produkts gilt: $\begin{eqnarray} f_{X_1 X_2}(x) = \int_{\mathbb R} \frac{1}{\|t\|} f_{X_1,X_2}(t, \frac{x}{t}) d t \end{eqnarray}$ Nützt einem das irgendetwas? Ich stelle mir vor, dass mit dem 1/\|t\| recht schwierig zu integrieren wird... Falls nein, wie geht man dieses Beispiel sonst an? Freundliche Grüße daLoisl

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