Gegen Unendlich-Problem?

08.06.2015, 21:49

schrauberking

Gegen Unendlich-Problem?

Meine Frage:
hi,
ich würde gerne wissen was mit x gegen +/- unendlich eigentlich wirklich gemeint ist. In Youtube-Videos wird immer gezeigt, was mir nicht in den Kopf rein will, bzw. was mir eigentlich widerstrebt.
Kurz: Die schauen sich den Graphen der Funktion an und beginnen immer bei 0.
Von 0 geht's dann unendlich weit nach rechts, also plus, oder eben unendlich weit nach links, also minus unendlich. Das soll dann der Globalverlauf sein.
Und ich dachte, dass man unter dem Globalverlauf einer Funktion, das Verhalten (Steigungsverhalten) der Funktion betrachtet ,wenn man x gegen +/- unendlich laufen lässt. Also wenn man von x unendlich weit nach rechts oder links geht.
Mehr gibt Def: zumindest in meinem Buch nicht her.
Wieso fangen die dann damit an, 0 als x festzulegen von dem ich unendlich nach links/rechts gehe.
Also meiner Ansicht (bitte erhellt mich wenn ich zu einfach denk xD) heißt x gegen unendlich, dass ich von einer Stelle x unendlich viele Einheiten nach Links oder Rechts und welches x ich da wähle egal sein muss. Sonst wäre es doch ein definiertes Intervall wenn ich von 0 starte, oder?

Sorry wens etwas länger ist.xD

Meine Ideen:
schraubi

09.06.2015, 08:23

klarsoweit

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RE: Gegen Unendlich-Problem?

Zitat:

Original von schrauberking
Kurz: Die schauen sich den Graphen der Funktion an und beginnen immer bei 0.
Von 0 geht's dann unendlich weit nach rechts, also plus, oder eben unendlich weit nach links, also minus unendlich. Das soll dann der Globalverlauf sein.

Bei einem Blick in die Definition des Grenzwerts für x gegen +/- unendlich ist von einem Startpunkt eigentlich gar keine Rede. Der dient allenfalls zur Veranschaulichung und kann quasi beliebig gewählt werden.

09.06.2015, 09:29

HAL 9000

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Konkrete Festlegungen "man startet da oder dort, um den Grenzwert x gegen unendlich zu analysieren" sind sinnlos. Betrachten wir etwa $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{x-10^7} \end{align*}$ und starten bei $\begin{align*} x_0=10^6 \end{align*}$ , dann stellen wir fest, dass der Funktionswert zunächst sinkt, dann immer schneller ... heißt das jetzt: Der (uneigentliche) Grenzwert ist $\begin{align*} -\infty \end{align*}$ ? Nein, sicher nicht, sondern allenfalls $\begin{align*} \lim_{x\nearrow 10^7} f(x) = -\infty \end{align*}$ , dann haben wir dort eine Polstelle mit $\begin{align*} \lim_{x\searrow 10^7} f(x) = \infty \end{align*}$ auf der "anderen Seite" und danach eine montonon fallende Funktion mit $\begin{align*} \lim_{x\to \infty} f(x) = 0 \end{align*}$ . D.h. willkürlich gewählte Startpunkte ohne Beachtung der Struktur der Funktion bringen gar nichts - und Startpunkt 0 ist eine ebensolche Willkür.

09.06.2015, 20:22

schrauberking

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also, um was es mir geht ist eigentlich folgendes. In einem Mathebuch für Klasse 10 fand ich, dass wenn wenn unbeschränkt kleiner werdende Zahlen betrachtet, Beispiel war -10,-100-1000,..., dass man dafür x gegen unendlich schreibt.
Dann wird da angeführt, dass bei f(x)=0,1x^3-0,3x+0,1 für x gegen - unendlich, die Funktionswerte dieser Funktion unbeschränkt kleiner werden.??? Big Laugh

Auf jeden Fall heißt es weiter, dass das Verhalten der Funktionswerte einer Funktion für +/- unendlich das Globalverhalten der Funktion ist.
Jetzt sag ich, wieso nicht auch von 10,5,0,-5,-10,-100...? Die Zahlen werden auch unbeschränkt kleiner. Ich fang nur im positiven an und die im negativen. Da x jede beliebige Zahl sein kann, müsste man unendlich weit rechts anfangen können und dann unendlich weit nach links gehen, für x gegen - unendlich. So versteh ich das. Stimmt der Gedanke?

Alles hätte ich quasi ein Betrachtungsfenster ohne Grenzen.

Dann heißt es weiter, dass bei x^3 gilt: für x gegen unendlich , geht x^3 gegen unendlich und umgekehrt.
Mit meiner Sichtweise von +/- unendlich krieg ich da echt ein Problem, weil die Funktion nicht einheitlich global definierbar ist, sondern nur in Intervallen. Und das widerspricht dann der Def. "für x gegen +/- unendlich hat die Funktion das Verhalten "bla". Richtig wäre doch bei x^3, dass zwei Verhalten hat. Oder?

Versteht ihr??

Danke.

09.06.2015, 20:49

schrauberking

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Außerdem ist es dann doch auch falsch zu sagen für x gegen unendlich geht x^3 gegen unendlich. Denn nur für das Intervall (0;unendlich) geht f(x) gegen unendlich.
Das heißt plus unendlich fängt bei denen bei 0 an, da ein Verweis auf ein Intervall bei denen fehlt.

verwirrt

09.06.2015, 21:00

Jayk

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So eine allgemeine Aussage "x geht gegen unendlich" ist sinnlos bzw. bestenfalls eine symbolische Sprechweise.

1.) Es geht um Folgen, sagen wir (der Einfachheit halber) von reellen Zahlen, $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Dann heißt eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} a \equiv \lim_{n\to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ , wenn es für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ (egal, wie klein, aber natürlich auch beliebig groß) ein dazugehöriges $\begin{eqnarray*} N_\epsilon \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so daß für alle $\begin{eqnarray*} n > N_\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \vert a_n - a \vert < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Äquivalent ist: Zu jedem epsilon>0 soll es nur jeweils endlich viele Indizes n geben, für die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu a einen größeren Abstand als epsilon hat.
Man schreibt oder sagt dann symbolisch: $\begin{eqnarray*} a_n \to a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ .
Man führt auch den uneigentlichen Grenzwert $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ein, falls $\begin{eqnarray*} \forall e:\,\exists N_e:\,\forall n > N_e:\,a_n > e \end{eqnarray*}$ , falls also zu jedem noch so großen e jeweils fast alle (= alle bis auf endlich viele) Folgenglieder größer als e sind. Man schreibt dann auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} a_n = \infty \end{eqnarray*}$ .
In der Analysis betrachtet man auch die erweiterten reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb R} = \mathbb{R} \cup \lbrace \pm \infty \rbrace \end{eqnarray*}$ , für die man eine passende Topologie einführen kann (die so genannte Zwei-Punkt-Kompaktifizierung), mit der man dann diesen Fall Unendlich nicht mehr gesondert betrachten muß und es ein ganz normaler Grenzwert ist.

2.) Es geht um Funktionen. Man schreibt $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} f(x) = g \end{eqnarray*}$ , falls für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ , die den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} x_n = x_0 \end{eqnarray*}$ besitzen, die Folge der Funktionswerte $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ den Grenzwert g besitzt, also $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} f(x_n) = g \end{eqnarray*}$ . Es gibt andere Definitionen, die hierzu äquivalent sind.
Dabei ist auch $\begin{eqnarray*} x_0 = \pm \infty \end{eqnarray*}$ zugelassen.

Das heißt anschaulich: Gewählt werden Argumente, die auf lange Sicht unendlich groß werden. Die Folge der dazugehörigen Funktionswerte soll gegen g konvergieren.

Habt Ihr in der Schule erst Grenzwerte von Folgen behandelt oder den Grenzwert von Funktionen irgendwie anders definiert?

Zitat:

Außerdem ist es dann doch auch falsch zu sagen für x gegen unendlich geht x^3 gegen unendlich. Denn nur für das Intervall (0;unendlich) geht f(x) gegen unendlich.

.

Wenn Du Dir obige Definitionen anschaust, wirst Du feststellen, daß man
1.) bei einer Folge jederzeit endlich viele Glieder entfernen kann, ohne am Konvergenzverhalten irgendwas zu ändern.
2.) eine Funktion jederzeit auf einem beschränkten Bereich umdefinieren kann, ohne am Konvergenzverhalten irgendwas zu ändern.
Angenommen, Du hast eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ von Argumenten, die den Grenzwert Unendlich besitzt. Dann wird es ein N geben, so daß für n>N gilt: $\begin{eqnarray*} x_n > 0 \end{eqnarray*}$ . In jedem Fall wird auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (x_n)^3 = \infty \end{eqnarray*}$ gelten.
Man braucht kein Intervall dazu.

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