Nilpotente Matrizen

09.06.2015, 10:27	Mathemus	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotente Matrizen Meine Frage: Hallo Leute. Ich verzweifel grad an folgender Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} A,B\in M_{n} (K) \end{eqnarray}$ nilpotente Matrizen, so dass $\begin{eqnarray} AB=BA \end{eqnarray}$ . Zeigen sie, dass A+B nilpotent ist. Meine Ideen: Ich weiss, dass für eine nilpotente Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ folgendes gilt: $\begin{eqnarray} A^{k}=0 \end{eqnarray}$ für ein k aus den natürlichen Zahlen, und dass man die Matrix auch folgendermaßen schreiben kann: $\begin{eqnarray} P^{-1}MP \end{eqnarray}$ , wobei M aus nullen und verschiedenen Einträgen oberhalb der Hauptdiagonalen besteht. Vielleicht kann mir ja jemand ein Denkanstoss geben. Liebe Grüße
09.06.2015, 10:50	echnaton	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst auf $\begin{eqnarray} (A+B)^n \end{eqnarray}$ den binomischen Lehrsatz anwenden. Dieser gilt auch in unitären Ringen, wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ bezüglich der Multiplikation kommutativ sind.
09.06.2015, 10:53	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrizen Hallo! Du weißt Folgendes: $\begin{align} \exists m,k \in \mathbb{N}: \; A^m= 0, \; B^k=0 \end{align}$ Gesucht ist ein $\begin{align} n \in \mathbb{N}, \end{align}$ sodass $\begin{align} (A+B)^n=0. \end{align}$ Betrachte mal für $\begin{align} n=m+k \end{align}$ den binomischen Lehrsatz.
14.06.2015, 19:56	Mathemus	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank. Habs dann rausbekommen!

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