Basis einer Matrix

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09.06.2015, 17:44	Lenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis einer Matrix Meine Frage: Gegeben sei die folgende Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2 & a \\ 5a & 11-a & 3+5a \\ a & 2 & 1+a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für welche Werte von a ? $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ bilden die Spalten von A eine Basis von $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: In Stufenform bringen und darauf achten, dass keine Nullzeile rauskommt. Muss ich die Matrix vorher eignetlich transfomieren, wenn ich die Zeilen mit dem Gauß umforme?
09.06.2015, 17:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformieren kenne ich nicht. Transponieren oder nicht ist egal, denn Zeilenrang=Spaltenrang. Andere Möglichkeit ist, Determinante berechnen. Diese muss ungleich 0 sein, damit die Matrix vollen Rang hat. Übrigens können die Spalten von A eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ bilden, nicht von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$
09.06.2015, 18:11	Lenz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2 & a \\ 5a & 11-a & 3+5a \\ a & 2 & 1+a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Z.3-Z.1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2 & a \\ 5a & 11-a & 3+5a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Z.2 - 5Z.1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2 & a \\ 0 & 11a-10 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Z.2 - 3Z.3 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2 & a \\ 0 & 11a-10 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also bilden die Werte von a € $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ \ 10/11 die Spalten von A eine Basis von $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray*}$ oder sehe ich es falsch?
09.06.2015, 18:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im 2. Schritt ist ein Rechenfehler.
09.06.2015, 18:34	Lenz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2 & a \\ 5a & 11-a & 3+5a \\ a & 2 & 1+a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Z.3-Z.1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2 & a \\ 5a & 11-a & 3+5a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Z.2 - 5Z.1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2 & a \\ 0 & 1-a & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Z.2 - 3Z.3 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2 & a \\ 0 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ na sowas. jetzt wäre ja a€ R\1, falls es richtig ist würde es auch für eine transformierte Matrix gelten. Denn falls ich mich nicht wieder verrechnet habe käme für $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray*}$ a€R\1,0
09.06.2015, 18:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du siehst ist die Determinante $\begin{eqnarray} \;\;\; a(1-a)\ne 0\Leftrightarrow a\notin\{0,1\} \end{eqnarray}$ . Das passt. Was willst du mit der "transformierten" Matrix, die es nicht gibt ?
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09.06.2015, 18:47	Lenz	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich die Matrix transformiere und sie dann nach gauß in stufenform bringe, bekomme ich als ergebnis $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & a5a & a \\ 0 & a-a^2 & 0 \\ 0 & 0 & a-a^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und da kann man es leicht ablesen.
09.06.2015, 18:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst transponieren, nicht transformieren. Warum man aus der quadratischen Gleichung a-a²=0 die Nullstellen 0 und 1 leichter ablesen kann als aus derselben quadratischen Gleichung a(1-a)=0 , verstehe ich nicht.
09.06.2015, 19:43	Lenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Lol, ein Glück, dass ich nicht "transportiert" geschrieben habe. Ich werde es mir einprägen. Danke für die Hilfe

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