Zum ersten Mal gleiche Geburtstage verallgememeinert |
| 09.06.2015, 18:38 | 2phil4u | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zum ersten Mal gleiche Geburtstage verallgememeinert Heute hat mich jemand etwas unpassend gefragt, bei wieviel Personen es am wahrscheinlichsten ist, dass 2 am gleichen Tag Geburtstag haben. Mir war zwar sofort klar, dass hier nur entweder die Wahrscheinlichkeit/Personen gemeint sein kann oder wie ich später bemerkte der Kipppunkt mit p > 0.5, aber ich schätzte ganz gut auf 24 Personen. Nun habe ich versucht das ganze mathematisch zu lösen. Die Gleichung könnte ja ganz einfach sein, einfach Wahrscheinlichkeits für gleiches Ergebnis = 1/a Also dann a(a-1) * (a-2) * (a-b) / a hoch b < 0.5 (Gegenwahrscheinlichkeit). Ich habe dann etwas rumgerechnet, erst für eine feste Wahrscheinlichkeit p gerechnet, mit dem Ergebnis n-1/n hoch a = 0.5 a= ln 2 folgernd aus lim n-1/n = 1 /e und dann probiert für grosse n die Wahrscheinlichkeit zu mitteln, aber geschafft habe ich es nicht. Klar kann man sagen bei 1/1 Mio und 1000 Personen könnte man auf 1000 Versuche mit p = 1/2000 runden, aber wie man sieht ändert sich da immer gleich zu viel. Wahrscheinlich am einfachsten man kann einfach a * (a-1) * (a-2) * (a-b) /a hoch b = 0.5 lösen, aber ich habe keine Ahnung, bin auch nicht an der Uni oder so, würde mich trotzdem interessieren, bestimmt kann das jemand, so einfach ist es nicht. |
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| 09.06.2015, 18:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So formuliert würde ich was anderes vermuten: Dass es um genau zwei Personen mit gleichem Geburtstag geht. Also nicht drei oder mehr, bzw. auch nicht mehr als dieses eine Paar - sprich: Die anderen n-2 Personen haben an unterschiedlichen Tagen Geburtstag. Bei dieser Frage gibt es tatsächlich eine solche Personenanzahl. 
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| 09.06.2015, 19:33 | 2phil4u | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habs mal durchgerechnet, bei der Zahl 23 geht die Gegenwahrscheinlichkeit gerade unter 0.5. Will heissen, 3 gleiche sind ziemmlich unwahrscheinlich, mir ging es aber um die Verallgemeinerung. Ich habs versucht gegen unendlich gehen zu lassen. Edit: Wobei ich vergleichbare Überlegungen angestellt habe für sehr wenige Versuche und gleichbleibende Wahrscheinlichkeiten (was ja vergeleichsweise weniger ansteigen dürfte) und vielleicht ist der Zeitpunkt, ab dem die Wahrscheinlichkeit für Mehrfachtreffer die Wahrscheinlichkeit für 1-fach Treffer drückt, glaube aber nicht, dass dies direkt beim Kipppunkt der Fall ist, an dem 0 Treffer unter 0.5 rutschen, genaues weiss ich aber nicht. Problem war hierbei, dass ich zwar die Gleichung (n+1/n) hoch n = 0.5 lösen konnte aufgrund der Umkehrung des Grenzwertsatzes für E, aber wenn ich bsp 1 Mio unterschiedliche Attribute habe reichen mir die Wurzel 1000 nicht, weil es im Durchschnitt dann 1/2000 sind und wenn ich die Anzahl erhöhe ändert sich natürlich auch alles andere, was heissen will bei 1200 wär die Endwahrschlleichkeit so um die 1/800 oder gerundet etwa 1/1600, was dann zwar nah an der Lösung für n-1/n hoch n = 0.5 wäre aber eben nicht genau. Deshalb hoffte ich hier den genauen Wert für die Formel a * (a-1) * (a-2) etc * (a-b) / a hoch b = 0.5 z u bekommen, keine Ahnung wie man diese Fakultäten rechnerisch in den Griff bekommt. |
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| 10.06.2015, 17:48 | leoclid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kommst mit einem anderen Ansatz weiter: Überlege dir wieviele Möglichkeiten es gibt überhaupt erstmal zwei Personen auszuwählen. Und dann wieviele Möglichkeiten es gibt, das die anderen alle an den 364 anderen Tagen und alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. |
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| 11.06.2015, 20:09 | 2phil4u | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich wollte ja die Verallgemeinerung. Nach einigen Recherchen ist das ganze unter Geburtstagsparadox oder Sammelbildproblem bekannt. Komischerweise konnte ich recht leicht lösen, wann die Wahrscheinlichkeit, dass alle Geburtstage abgedeckt sind größer 0.5 ist. Fogendermassen bin ich vorgegangen, ich gehe alle Tage von 1-365 durch. Es muss also eine Wahrscheinlichkeit geben, die hoch 365 = 0.5 ist Diese Wahrscheinlichkeit ist also die 365 Wurzel hoch 0.5 Nun kann ich bestimmen für irgendeinen Tag muss die (Wahrscheinlichkeit (364/365) hoch n sein. Daraus folgt nach logarythmieren n= ln (1- 365 Wurzel (0.5)) / ln (364/365) Nach 2285 Personen hat man zu mehr als 0.5 Wahrscheinlichkeit alle PErsonen abgedeckt. Wahrscheinlichkeit für die 1. Person zu treffen ist dann 0,99810562324938541402761684363615 Diese Wahrscheinlichkeit hoch 365 sollte gerade noch größer als 0.5 sein. Ich hoffe ich habe keinen Denkefehler hier gebaut. Interessant wäre es jetzt natürlich zu wissen, wie hoch der Schnitt des Tages mit den meisten Treffern ist. Wenn ich jetzt allerdings den Durchschnitt ausrechnen will, wie viel Tage ich im Mittel brauche stimmt die Zahl schon wieder nicht. Einfaches Beispiel 2 Möglichkeiten, bei 2 Versuchen habe ich 0.5 aber der Schnitt ist in diesem Fall 0.5 *2 + 0.25 *3 + 0.125 *4 + 1/16 *5 etc pp und das dürften irgendwo zwischen 2.5 und 4 sein. Für 365 Tage denke ich aber, dass prozentual gesehen das ganze weniger streut, so ist zwar die absolute Standardabweichung größer, aber relativ zu den Versuchen dürfte sie gegen 0 gehen für n gegen unendlich. lim Versuche/ Durchschnittliche Versuche = 1 für n gegen unednlich. Will heissen, wenn ich 10 hoch 99 verschiedene Zustände erreichen will dürfte ich immer eine sehr ähnliche Anzahl an Versuchen brauchen relativ gesehen zu den Versuchen. Meine Frage war aber eigentlich die Formel a * (a-1) * (a-2) * ... * (a-b) / a hoch b = 0.5 |
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| 11.06.2015, 20:26 | 2phil4u | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu dem Vorredner, klar was du meinst, es gibt ja weniger Möglichkeiten verschiedene Geburtstage zu erwischen, als das es Möglichkeiten gibt, aber da sind wir ja wieder bei der Formel. Ich wollte erst n über m schreiben, aber das stimmt ja nicht, weil ich dann die Reihenfolge für egal erklären würde, dann könnte ich nicht durch 365 hoch n teilen. Aber so ähnlich geht es wohl, ich werd schon noch drauf kommen. |
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| 11.06.2015, 20:30 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein wenig mehr Struktur würde deinen Beiträgen gut tun: Eben sprachst du noch von dem Problem, wie viele Personen man braucht, bis mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben. Plötzlich wechselst du (quasi mitten im Satz) zum Sammelbildproblem, diesmal bezogen auf Geburtstage: Wie viele Personen braucht man (im Mittel? mit Wahrscheinlichkeit von soundoviel Prozent?), dass jeder der möglichen 365 (oder gar 366) Geburtstage jeweils mindestens einmal vertreten ist? Das ist verwirrend für die Leser, und schreckt ab. Eine klare Ansage, über welches Problem du gerade reden möchtest, wäre also nicht schlecht. P.S.: Lies deine PN. |
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| 11.06.2015, 20:37 | 2phil4u | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe gesagt, dass ich gelöst habe, wann wohl alle Geburtstage erreicht werden, in dem ich die Wahrscheinlichkeit für jeden Tag so gewählt habe, dass es hoch 365 noch 0.5 gibt. Die Wahrscheinlichkeit des ersten Treffers habe ich durch die Formel (a-1) * (a-2) * (a-b) / a hoch b = 0.5 angegeben, kann diese aber nicht lösen. Es ging mir auch nicht um die explizite Lösung für einen Spezialfall, sondern um das handeln mit den Wahrscheinlichkeiten. Das Sammelbildproblem und das Geburtstagsparadoxon sind doch gleich mathematisch nur mit unterschi8edlichen Bedinungen bis zum Abbruch, will heissen, wann das erste Paar auftritt und wann das letzte Glied einmal erreicht wird sollten mathematisch gesehen nur verschiedene Lösungen dieser Auswürfelung sein für bestimmte Parameter. |
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| 11.06.2015, 20:43 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sind vollkommen unterschiedliche Probleme: 1) Geburtstagsparadoxon mit Tagen im Jahr und Personen: Es wird das kleinste mit bestimmt. 2) Sammelbildproblem: Bei insgesamt verschiedenen Motiven werden im Mittel Bildern benötigt, bis man alle Motive zusammenhat. |
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| 26.06.2015, 17:46 | 2phil4u | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nunja, die unterschiedlichen Probleme basieren aber auf dem gleichen System, nur sind die Lösungen vergleichsweise unterschiedlich. Die Bedinungen sind ja die Gleichen, nur die Fragen sind unterschiedlich. Ist übrigens nicht möglich eine Lösung anzugeben, ich habe mich da durchgewurschtelt. Man kann die Gleichung nicht so einfach lösen. Man muss die Fakultäten mit Stirling vereinfachen und dann mit Newton eine Lösung basteln. Geschafft habe ich es nicht, aber die Löusng ist für 365 Tage etwa (wenn ich den 1. nicht mitrechne) 1.15 * Wurzel (365) und für 1000 etwa 1.17 mal Wurzel (1000). Um hier wirklich weiter zu kommen, reichen meine mathematischen Fähigkeiten nicht ganz aus, ich benutzte eigentlich ein anderes Board, in dem mehr Profimathematiker unterwegs sind, und die Formel kann man nicht linear lösen, genausowenig wie lnx = a*x Ob hier wirklich die Stirlichformel die beste Methode ist weiss ich nicht genau, denn sie wurde für grosse Fakultäten entwickelt und nicht für eine Art a!/(a-b)! und relativ kleinem b. Als ich die Zahl 1.2 (in etwa sah) habe ich mir schon überlegt, ob es eine geniale Lösung geben könnte für n gegen unendlich wie Pi/e * Wurzel (n). Problem an der Stirlingschreibweise der Fakultät kann sich ja jeder selbst ausdenken, ich bin gerade an was anderem dran, wofür ich Modula richtig verstehen muss. Warum haben alle Ziffern von 1-9 (und überhaupt alle Zahlen) hoch 5 immer die gleiche Endziffer, aber das ist ein anderes Problem, mal schauen, ob ich es hinbekomme. |
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| 26.06.2015, 17:52 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt verdammt viele Probleme der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung, die auf dem strukturell "gleichen" Laplaceschen Grundraum mit irgendeiner endlichen Menge beruhen. Die würde ich deswegen nicht alle als "mathematisch gleich", ja oft nicht mal als verwandt bezeichnen. 
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