Asymptotenkurve ohne Polynomdivision bestimmen? Warum nicht möglich?

10.06.2015, 02:43	S1WEN	Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptotenkurve ohne Polynomdivision bestimmen? Warum nicht möglich? Meine Frage: In der Oberstufe und auf jeglicher Website/in jedem Youtube-Video lernt man, dass man für die Bestimmung einer Asymptotenkurve eine Polynomdivision durchführen muss. Vollkommen logisch soweit, dass muss nicht erklärt werden. Desweiteren lernt man jedoch, dass man für die Grenzwertbestimmung den gesamten Bruch durch die höchste Nennerpotenz teilen muss. (Andere lehren es auch mit Ausklammern und dann "kürzen".) Klappt soweit ganz gut, solange der Zählergrad nicht größer als der Nennergrad ist. Warum kommt nun aber bei Zählergrad>Nennergrad nicht die gleiche (sondern eine falsche) Asymptotenkurve/schiefe Asymptote heraus, wie mit einer Polynomdivision? Wo liegt also der Denkfehler, wenn man versucht eine Asymptotenkurve/schiefe Asymptote mit der "Division durch höchste Nennerpotenz von x" herauszufinden? Hier ein Beispiel: $\begin{eqnarray} \frac{3x^{2}- 2x+ 6 }{2x- 3}= \frac{\left(3x^{2}- 2x+ 6\right)\frac{1}{x} }{\left(2x- 3\right)\frac{1}{x} }= \frac{\frac{3x^{2} }{x}-\frac{2x}{x} + \frac{6}{x} }{\frac{2x}{x} - \frac{3}{x} } = \frac{3x- 2+ \frac{6}{x} }{2- \frac{3}{x} } \end{eqnarray}$ Als Grenzwert und schiefe Asymptote erhält man dadurch also: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty }\frac{3x- 2+ \frac{6}{x} }{2- \frac{3}{x} } = \frac{3x- 2}{2} = 1.5x-1 \end{eqnarray}$ Die richtige schiefe Asymptote nach Polynomdivision und Kontrolle mit Geogebra lautet jedoch: $\begin{eqnarray} 1.5x+1.25 \end{eqnarray}$ Was stimmt an der oberen Überlegung also nicht? Meine Ideen: Auffällig ist hierbei, dass die Steigung zwar identisch ist, jedoch die Position um 2.25 nach unten gerutscht ist. Auch bei einem anderen Beispiel hat die Steigung gestimmt, jedoch die Position nicht, also die additive Konstante. Ein Denkansatz war, dass es ja "verboten" ist durch Null zu teilen und da 0 in der ursprünglichen Definitionsmenge enthalten ist $\begin{eqnarray} D=\mathbb R /\left\{ 1.5\right\} \end{eqnarray}$ darf man möglicherweise nicht durch Null teilen und x nicht einfach "kürzen". (?) Andererseits ergibt es dann auch keinen Sinn, warum dies erlaubt/möglich ist, wenn der Zählergrad NICHT größer als der Nennergrad ist.
10.06.2015, 13:25	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asymptotenkurve ohne Polynomdivision bestimmen? Warum nicht möglich? Interessante Frage! Mein Vorschlag hierzu: Durch die Polynomdivision zerlegt man die ursprüngliche Funktion in einen ganzrationalen Anteil und einen echt gebrochenen Anteil, d. h. es liegt nur eine andere Schreibweise der ursprünglichen Funktion vor. Dabei geht der echt gebrochene Teil für $\begin{eqnarray} x \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ gegen Null, wirkt sich also immer weniger auf den Funktionswert aus, je größer x wird. Also nähert sich der Funktionswert immer mehr dem ganzrationalen Anteil an. Was passiert beim Kürzen mit x? Zunächst schreibt man auch hier die Funktion nur um, wobei diese aber als Bruch erhalten bleibt. Für positive x ergeben sich also gleiche Funktionswerte. Dann allerdings hast Du im Zähler und Nenner jeweils zwei unterschiedliche Summanden einfach "weggelassen", da diese im Grenzwert Null werden. Dadurch wurde aber der Bruch und damit die ursprüngliche Funktion verändert, denn zwei einzelne variable Summanden in Zähler und Nenner haben für endliche x auf den Wert des Gesamtbruches einen Einfluß, der nicht so leicht abgeschätzt werden kann. So kommt es, dass die 1. Methode die Asymptotenfunktion liefert und die 2. Methode einen anderen Ausdruck, der nur "grob" denselben Grenzwert hat wie die ursprüngliche Funktion. Die 1. Methode ist also genauer, die 2. Methode benutzt man zur Überprüfung Konvergenz/Divergenz.
10.06.2015, 13:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist auch so, dass einem bei einer "Rechnung" wie $\begin{align} \lim_{x \to \infty}\frac{3x- 2+ \frac{6}{x} }{2- \frac{3}{x} } = \frac{3x- 2}{2} \end{align}$ die Nackenhaare zu Berge stehen: Der Nennerteil $\begin{align} \lim_{x \to \infty} 2- \frac{3}{x} = 2 \end{align}$ ist zwar richtig, aber im Zähler sowas wie $\begin{align} \lim_{x \to \infty} 3x- 2+ \frac{6}{x} = 3x- 2 \end{align}$ zu rechnen bzw. zu schreiben ist grober Unfug. Seriös geschrieben geht es wohl um den Gedankengang $\begin{align} \lim_{x\to\infty} \left( 3x- 2+ \frac{6}{x} - (3x-2) \right) = 0\quad \stackrel{?}{\Longrightarrow} \quad \lim_{x\to\infty} \left( \frac{3x- 2+ \frac{6}{x}}{2- \frac{3}{x}} - \frac{3x-2}{2} \right) = 0 \end{align}$ , der sich aber als falsch herausstellt - er ist durch keine Grenzwertregeln gedeckt.
10.06.2015, 20:16	S1WEN	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die beiden Antworten! Es freut mich sehr, dass mir jemand bei diesem Problem beisteht! Zwar habe ich mein Abitur seit gestern schon, jedoch lässt mich diese Frage nicht in Ruhe. @klauss Dass die Summanden weggelassen werden und damit das Ergebnis ungenau wird, verstehe ich sinngemäß soweit. Vielen Dank dafür! Jedoch frage ich mich nun: Wurde mathematisch gesehen irgendein Schritt getan, der nicht richtig ist/nicht erlaubt ist? Kann man an irgendeiner Stelle feststellen: "Diese Umformung ist nicht erlaubt" oder "Das ist falsch gerechnet"? Denn das "Weglassen" macht man doch immer, wenn man Grenzwerte berechnet. Wie kann es dann sein, dass das Ergebnis verfälscht wird? @HAL 9000 Vielleicht hängt folgendes Problem/folgende Frage auch mit meiner Frage an klauss zusammen: Inwiefern ist die Umformung im Zähler grober Unfug? Denn letztendlich geht $\begin{eqnarray} \frac{6}{x} \end{eqnarray}$ ja gegen Null, wird also verschwindend gering. Warum darf man das also nicht einfach weglassen? Und warum ist es dann bei $\begin{eqnarray} \frac{3}{x} \end{eqnarray}$ richtig? Und warum stellt sich der Gedankengang als falsch heraus? Ich dachte eine Grenzwertregel ist, dass Brüche mit höherem Nennergrad als Zählergrad immer gegen 0 gehen. Ich freue mich, wenn ihr mir diese Fragen noch beantworten könntet.
11.06.2015, 01:33	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asymptotenkurve ohne Polynomdivision bestimmen? Warum nicht möglich? Mit viel gutem Willen koennte man Deine "Methode" so deuten, dass Du fuer Deine Funktion f(x) eine asymptotische Darstellung a(x) gewinnst, die den relativen Fehler verschwinden laesst: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}f(x)/a(x)=1 \end{eqnarray}$ . Gefragt ist aber (bzw. erwartet wird) eine asymptotische Darstellung, die den absoluten Fehler verschwinden laesst: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}((f(x)-a(x))=0 \end{eqnarray}$ . Wie Dein Beispiel zeigt, ist das nicht dasselbe. Siehe hierzu auch "DES DIDAKTORS NEUE KLEIDER" (->Google) im Abschnitt 9.1 auf Seite 13.

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