[Mengenlehre] Überprüfung der Definition meiner Formeln

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Ungelehrter Auf diesen Beitrag antworten »
[Mengenlehre] Überprüfung der Definition meiner Formeln
Guten Tag,

ich möchte einige Dinge formal darstellen, bin aber völlig unegeübt und habe für Mathematik, auch wenn sie mir gefällt, leider keine Zeit.

Ich habe zwei Mengen Kategorien alias und Oberkategorien alias . Jede Oberkategorie ist eine Kategorie, was bedeutet, dass jedes Element aus definitiv in enthalten sein muss.

1. Formel:

Nun wird es etwas komplexer. Es existiert eine Relation zwischen beiden Mengen, welche beschreiben soll, dass ein Element aus einem Element aus unter- bzw. zugeordnet ist, mit der Bedingung, dass das Element aus natürlich nicht in enthalten ist. Denn Oberkategorien dürfen keine Oberkategorien haben. Eine Rekursion ist also nicht erwünscht.

2. Formel:

Das Problem hierbei ist. Ich habe die Formel mehr "instinktiv" aufgestellt, ohne große Ahnung zu haben. Ich weiß nicht wirklich, in wie fern der Allquantor richtig gesetzt ist, oder was das erste Komma zu bedeuten hat. Wirkt das erste Komma in der 2. Formel nur als Aufzählung oder mehr als UND Operator? Wobei das ja irgendwie Synonyme sind, mathematisch jedoch zu trennen.

Was genau würde die 2. Formel aussagen, ohne den Allquantor? Oder ist sie mit Allquantor vllt. falsch?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du schreibst : "Es existiert eine Relation ..."
Diese Aussage über die Existenz einer Relation verstehe ich nicht. Ist es vielleicht so, dass Du diese Relation angeben möchtest ?

ist die minimale Relation, für die die Bedingung gilt.
ist die maximale Relation, für die die Bedingung gilt.
Ungelehrter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
ist die maximale Relation, für die die Bedingung gilt.


Warum muss zu die Bedingung angegeben werden? Es ist doch schon aus der Definition ersichtlich, dass .

Noch etwas. Folgt bei einer Definition einer Menge wirklich nur ein '=' nach der Mengenvariable oder ein ':='?

Und in wie fern ist identisch zu der Definition mit dem ':'?

EDIT
Und dann noch diese Formel:
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss zusätzlich zur Definition von R keine Bedingung angeben, um R zu definieren. Ich habe dies nur getan, um zu erläutern, dass diese von Dir gestellte Bedingung für viele verschiedene Relationen gelten kann.

Im Unterschied zu Deinem Versuch habe ich zwei mögliche Relationen tatsächlich definiert. Du hattest nur die Bedingung angegeben, der eine solche Relation genügen soll, damit ist sie aber offensichtlich noch nicht festgelegt.

Die 3 Definitionen für die maximale Relation R sind völlig identisch.
Gleichheitszeichen = oder definierendes Gleichheitszeichen := sind Geschmackssache; das letztere wird verwendet, wenn nicht schon aus dem Kontext hervorgeht, was definiert werden soll.
In der Mengendefinition ist : und | gleichbedeutend. Dasselbe gilt für , und das logische und.
Ungelehrter Auf diesen Beitrag antworten »

Super. Dann danke ich dir vielmals für die Hilfe!

Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. Beachte bitte auch noch, falls es nicht schon klar ist, dass eine Relation eine beliebige Teilmenge des cartesischen Produkts ist. Somit ist jede Teilmenge der von mir so genannten maximalen Relation eine Relation, für welche die Bedingung gilt. Es gibt genau geeignete Relationen , weil die Potenzmenge von , also die Menge der Teilmengen von , Elemente hat. Damit ist auch die Minimaliät der leeren Menge und die Maximalität von bewiesen.
 
 
Ungelehrter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Gern geschehen. Beachte bitte auch noch, falls es nicht schon klar ist, dass eine Relation eine beliebige Teilmenge des cartesischen Produkts ist. Somit ist jede Teilmenge der von mir so genannten maximalen Relation eine Relation, für welche die Bedingung gilt. Es gibt genau geeignete Relationen , weil die Potenzmenge von , also die Menge der Teilmengen von , Elemente hat. Damit ist auch die Minimaliät der leeren Menge und die Maximalität von bewiesen.


Das ist mir soweit klar.
Eine Frage bleibt noch. Das Kartesische Produkt kann man noch nur von Mengen bilden.

Die Mächtigkeit von ist doch eine konkrete Zahl sowie die Mächtigkeit von . Dazwischen müsste doch also ein Multiplikationszeichen, richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist das Multiplikationszeichen. Wenn die Mengen endlich sind, sind die Mächtigkeiten natürliche Zahlen. Wenn die Mengen oder eine der Mengen unendlich sind, gilt die Formel immer noch.
Ungelehrter Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Sache. Um die Menge der Unterkategorien mit einzubeziehen, hast du dich für die Subtraktionsmenge von E1 und E2 entschieden.


Wäre es flasch, wie folgt zu definieren?



Hier fehlt ja irgendwie der Bezug zu E1, richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre nicht ganz falsch, aber unvollständig. Man könnte es durch die zusätzliche Angabe der Obermenge der Relation retten: .
Das finde ich aber weniger konstruktiv, da die Elemente negativ statt positiv dargestellt werden. Außerdem ist es weniger elegant und schwieriger zu verstehen.
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