Kombinatorik Kinder und Wochentage

10.06.2015, 11:58

lost5

Kombinatorik Kinder und Wochentage

Meine Frage:
Hallo,
ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand mit dieser Aufgabe weiterhelfen kann. Die Lösung habe ich wie ihr seht zwar gegeben aber leider kann ich die Rechenschritte nicht nachvollziehen.

Ein Paar hatt zwei Kinder, davon ist mindestens eins ein Mädchen welches an einem Donnerstag geboren wurde. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das das jüngste Kind ein Mädchen ist?

Meine Ideen:
A: jüngstes Kind ist ein Mädchen
B: Mädchen am Donnerstag geboren

P(B)=(P(AschneidetB))/P(B) = (20/196)/(27/190)=0,74

Das ist die Lösung aber ich hab keine Ahnung wie ich da drauf kommen soll.
Ich freu mich natürlich auch für Ratschläge und Tipps zu anderen Rechenwegen :-) Danke

10.06.2015, 13:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von lost5
A: jüngstes Kind ist ein Mädchen
B: Mädchen am Donnerstag geboren

P(B)=(P(AschneidetB))/P(B) = (20/196)/(27/190)

Das ist die Lösung

Ist sie nicht, zumindest hast du dich verschrieben: Mit

$\begin{align*} P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{20}{196}}{\frac{27}{19{\color{red}6}}} = \frac{20}{27} \end{align*}$

wird aber ein Schuh draus.

Zur Berechnung der beiden Wahrscheinlichkeiten überlegt man sich, dass für jedes der beiden Kinder getrennt - d.h. sowohl das älteste als auch das jüngste - folgende Wahrscheinlichkeiten zutreffen:

Junge: 1/2
Mädchen, das an einem Donnerstag geboren wurde: 1/14
Mädchen, das nicht an einem Donnerstag geboren wurde: 6/14

10.06.2015, 14:33

verzweiffeltanmathe

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vsgqk5
Hallo,
erst Mal Dankeschön für die Antwort.
Du hast natürlich recht es muss geteilt durch 196 heißen.

Junge: 1/2 --> dieser Teil leuchtet mir ein

Mädchen, das an einem Donnerstag geboren wurde: 1/14 --> hier verstehe ich nicht wieso durch 14 geteilt wird. Wieso geht man von 2 Wochen aus.

Tut mir leid, mir fällt dieses Thema wirklich schwer.

10.06.2015, 14:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von verzweiffeltanmathe
Mädchen, das an einem Donnerstag geboren wurde: 1/14 --> hier verstehe ich nicht wieso durch 14 geteilt wird. Wieso geht man von 2 Wochen aus.

Geht man ja gar nicht, der Grund ist ein anderer: Die Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt ist 1/2, die für einen Donnerstag 1/7, und beides wird als unabhängig betrachtet. Ergibt insgesamt 1/2*1/7 = 1/14.

10.06.2015, 14:42

verzweiffeltanmathe

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Achso! Ja das ist natürlich logisch smile

Wie komme ich dann von diesem Gedanken zu diesen Werten (20/196)/(27/190)?

10.06.2015, 14:58

HAL 9000

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Fangen wir an mit

$\begin{align*} B \end{align*}$ : (mindestens) ein Kind ist ein Mädchen, das an einem Donnerstag geboren ist

(deine Formulierung des Ereignisses war zu ungenau und damit missverständlich). Das Gegenteil davon ist

$\begin{align*} B^c \end{align*}$ : keines der Kinder ist ein Mädchen, das an einem Donnerstag geboren ist

Es ist also $\begin{align*} P(B^c) = \left(1 - \frac{1}{14} \right)^2 = \left( \frac{13}{14} \right)^2 = \frac{169}{196} \end{align*}$ und damit

$\begin{align*} P(B) = 1-P(B^c) = \frac{27}{196} \end{align*}$ .

Bei $\begin{align*} A\cap B \end{align*}$ ist es etwas komplizierter, es gibt dort zwei mögliche (disjunkte) Fälle für dieses gemeinsame Eintreten beider Ereignisse $\begin{align*} A,B \end{align*}$ :

Entweder ist das jüngste Kind ein Mädchen, das an einem Donnerstag geboren wurde (an das ältere Kind werden dann keine Bedingungen gestellt). Oder aber das jüngste Kind ist ein Mädchen, das nicht an einem Donnerstag geboren wurde UND eine ältere Schwester hat, welche an einem Donnerstag geboren wurde. Das ergibt für die Wahrscheinlichkeitsberechnung als Summe beider Fälle

$\begin{align*} P(A\cap B) = \frac{1}{14}\cdot 1 + \frac{6}{14}\cdot \frac{1}{14} = \frac{20}{196} \end{align*}$ .

10.06.2015, 18:13

leoclid

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What??

Was hat denn Donnerstag damit zu tun, ob das jüngste Kind ein Mädchen ist.

Einfach Vierfeldertafel machen? Wie wärs damit mit Satz von Bayes

10.06.2015, 18:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von leoclid
Was hat denn Donnerstag damit zu tun, ob das jüngste Kind ein Mädchen ist.

Was hat gründliches Durchlesen und -denken der Problemstellung damit zu tun, Kommentare abzulassen? Fragen über Fragen. smile

10.06.2015, 19:03

leoclid

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Ich verstehe es nicht. Ob Donnerstag oder Mittwoch macht letzendlich keinen Unterschied.

Außerdem was soll das mit dem Wochentag.

Es ist eindeutig eines der beiden Kinder älter? Oder soll gleicher Tag genau gleiches alter bedeuten.

Klär mich bitte auf smile

10.06.2015, 21:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von leoclid
Es ist eindeutig eines der beiden Kinder älter?

Ist meistens so, selbst bei Zwillingen - massgeblich ist der Geburtszeitpunkt. Ist überhaupt sinnlos, auf diesem Gebiet Verwirrung stiften zu wollen.

Zitat:

Original von leoclid
Ich verstehe es nicht. Ob Donnerstag oder Mittwoch macht letzendlich keinen Unterschied.

Ja und? Ist das ein Grund dafür, die Aufgabe nicht mit Donnerstag formulieren zu dürfen?

Zitat:

Original von leoclid
Klär mich bitte auf

Die Aufgabe ist nicht von mir, aber sie ist klar verständlich formuliert. Und ich habe oben die Lösung erklärt. Jetzt bist DU an der Reihe, nachdem du mit Vehemenz in den Thread eingefallen bist mit Bemerkungen wie

Zitat:

Original von leoclid
Einfach Vierfeldertafel machen? Wie wärs damit mit Satz von Bayes

Na dann mal los!

11.06.2015, 10:57

PhyMaLehrer

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Ich habe jetzt eine ganze Weile überlegt, ob ich mich als der Trottel outen soll, der ich tatsächlich in Wahrscheinlichkeitsrechnung bin... Big Laugh

(Habe ich nie gelernt!)
Ich habe die Aufgabe gestern schon gelesen und fühlte mich ein bißchen an "Wie alt ist der Busfahrer?" erinnert. Ich kann die Frage, was denn der Wochentag für eine Bedeutung hat, nachvollziehen. Etwas anderes wäre es noch, wenn die Frage vielleicht lauten würde: 'Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß das jüngste Kind ein an einem Donnerstag geborenes Mädchern ist?', aber so ist die Frage ja nicht.
Womöglich übersehe ich etwas, obwohl die Aufgabe doch so kurz ist... Und die gegebene Erklärung hilft mir nicht so recht.
Es wäre schön, wenn ich einen Tip bekommen könnte, der mir, dessen Wissen auf diesem Gebiet nicht viel über den Wurf eines Würfels oder das Ziehen einer Karte hinausgeht, helfen würde.

Ist es denn nicht so:

Das eine Kind ist ein an einem Donnerstag geborenes Mädchen (MD).
(Oder habe ich diese Aussage bereits falsch verstanden?)
Das steht doch fest, oder? Hier brauche ich nicht zu berücksichtigen, daß die Wahrscheinlichkeit, an einem Donnerstag geboren zu werden, 1/7 ist? Ein Kind ist ein Mädchen UND an einem Donnerstag geboren.

Dann gibt es noch ein zweites Kind. Das kann ein Junge (J) oder ein Mädchen (M) sein.
Für "jünger" und "älter" gibt es folgende Möglichkeiten:

code:
1: 2: 3: 4: 5:	jünger älter MD J J MD MD M M MD

Vielleicht ist ja M auch zufällig an einem Donnerstag geboren, aber in der FRAGE ist davon doch gar nicht die Rede. Falls es zwei Mädchen in der Familie gibt, ist auf jeden Fall eines davon jünger. Deshalb bin ich im Zweifel, ob ich die letzten beiden Zeilen überhaupt unterscheiden muß und schwanke daher bei meiner "Lösung" zwischen 3/4 und 2/3.

Im Moment fehlt mir völlig der AHA-Effekt, wo mein Denkfehler liegt und wo bzw. warum überhaupt ich den Wochentag ins Spiel bringen muß... verwirrt

... und jetzt schicke ich diese Frage tatsächlich ab und blamiere mich! Hammer

11.06.2015, 11:45

Huggy

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Man kann die Aufgabe auch mit der Methode des Abzählens der Fälle lösen. Das mag für diejenigen hilfreich sein, denen das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten noch Probleme bereitet.

Das ältere Kind kann ein Junge oder ein Mädchen sein und es kann an einem der 7 Wochentage geboren sein. Das ergibt $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 7 = 14 \end{eqnarray*}$ Fälle. Dasselbe gilt für das jüngere Kind. Die Kombination ergibt dann insgesamt $\begin{eqnarray*} 14 \cdot 14 =196 \end{eqnarray*}$ Fälle. Diese 196 Fälle kann man in einer $\begin{eqnarray*} 14 x 14 \end{eqnarray*}$ Matrix anordnen, z. B. so, dass sich alle Fälle, bei denen das ältere Kind ein Mädchen ist und an einem Donnerstag geboren wurde, in einer Zeile der Matrix befinden und alle Fälle, bei denen das jüngere Kind ein Mädchen ist und an einem Donnerstag geboren wurde, in einer Spalte.

Diese Zeile und diese Spalte enthalten alle Fälle, die die Bedingung erfüllen, dass mindesten ein Kind ein Mädchen ist, das an an einem Donnerstag geboren wurde. Das sind $\begin{eqnarray*} 14 +14 -1 = 27 \end{eqnarray*}$ Fälle. Es ist 1 zu subtrahieren, weil sich einer der Fälle in der Zeile und in der Spalte befindet, nämlich an deren Kreuzungspunkt.

Jetzt ist nur noch zu zählen, in wievielen Fällen dieser Zeile und dieser Spalte das jüngere Kind ein Mädchen ist. Das sind alle 14 Fälle der Spalte und die Hälfte der Fälle, also 7, in der Zeile. In der andere Hälfte der Fälle in der Zeile ist das jüngere Kind ein Junge. Das sind $\begin{eqnarray*} 14 + 7 - 1 = 20 \end{eqnarray*}$ Fälle. Die Subtraktion der 1 erklärt sich wie oben.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also $\begin{eqnarray*} 20/27 \end{eqnarray*}$ , was merkwürdigerweise Big Laugh

mit dem Ergebnis von HAL übereinstimmt.

11.06.2015, 11:51

HAL 9000

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Hier braucht keiner Angst zu haben, als Trottel dazustehen. Es ist aber schon ein Unterschied, ob man so schnoddrig auftritt wie leoclid oder ehrlich fragend und rätselnd wie du.

Es werden hier folgende Modellannahmen gemacht:

1) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind an einem bestimmten festgelegten Wochentag geboren wurde, ist jeweils 1/7.
2) Die Wahrscheinlichkeit für Mädchen und auch für Junge ist jeweils 1/2.
3) Sowohl Geschlecht als auch der Geburtswochentag der beiden Kinder sind unabhängig voneinander.

An Punkt 1) gibt es bezogen auf die Realität wohl kaum Zweifel. Bei 2) sagen ja statistische Untersuchungen etwas anderes (knapper Jungenüberschuss), und bei 3) fahren einem eigentlich eineiige Zwillinge in die Parade - aber das wollen wir hier mal mangels Datenmaterial ignorieren. Augenzwinkern

Ok, soviel zum Grundmodell. Mit dem Satz

Zitat:

Original von lost5
Ein Paar hatt zwei Kinder, davon ist mindestens eins ein Mädchen welches an einem Donnerstag geboren wurde.

schränken wir aber den Kreis der betrachteten Familien auf jene ein, die dieser Forderung genügen, das wurde im folgenden Ereignis B genannt. D.h., gesucht ist nicht die absolute Wahrscheinlichkeit von

Zitat:

Original von lost5
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das das jüngste Kind ein Mädchen ist?

(Ereignis $\begin{align*} A \end{align*}$ genannt), sondern die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P(A \mid B) \end{align*}$ . Und dann wird ganz normal $\begin{align*} P(A \mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{align*}$ gerechnet.

Zitat:

Original von PhyMaLehrer
und schwanke daher bei meiner "Lösung" zwischen 3/4 und 2/3.

Ja, in diesem Rahmen bewegt sich die Wahrscheinlichkeit ähnlicher Problemstellungen wie dieser hier. Ersetzen wir mal dieses "an einem Donnerstag geboren" durch irgendeine andere Eigenschaft, von der wir nur wieder fordern, dass sie unabhängig von Geschlecht, und auch unabhängig voneinander bei den beiden Geschwistern auftreten kann. Das Eintreten dieser Eigenschaft habe die Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} q \end{align*}$ .

Dann ändert sich nicht viel an der obigen Rechnung:

$\begin{align*} P(B) = 1-P(B^c) = 1-\left(1-\frac{q}{2}\right)^2 = q-\frac{q^2}{4} \end{align*}$

$\begin{align*} P(A\cap B) = \frac{q}{2} + \frac{1-q}{2}\cdot \frac{q}{2} = \frac{3}{4}q - \frac{q^2}{4} \end{align*}$

Ergebnis: $\begin{align*} P(A \mid B) = \frac{\frac{3}{4}q - \frac{q^2}{4}}{q-\frac{q^2}{4}} = \frac{3-q}{4-q} \end{align*}$

$\begin{align*} q=\frac{1}{7} \end{align*}$ entspricht unserer Fragestellung im Thread. $\begin{align*} q=1 \end{align*}$ entspricht der oft gestellte Frage "Zwei Kinder, davon mindestens ein Mädchen - mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das jüngste Kind ein Mädchen", hier nun ergibt sich dasselbe Ergebnis $\begin{align*} \frac{2}{3} \end{align*}$ , wie man es sich auch durch Betrachten der (unter der Bedingung "mindestens ein Mädchen") drei gleichwahrscheinlichen Varianten MM, MJ, JM klarmachen kann.

Und für $\begin{align*} q\to 0 \end{align*}$ bekommen wir dein anderes Extrem $\begin{align*} P(A\cap B)\to \frac{3}{4} \end{align*}$ , allerdings ist $\begin{align*} q\to 0 \end{align*}$ statistisch fragwürdig, da einem da langsam das Datenmaterial ausgeht. Augenzwinkern

EDIT: Etwas zu lange geschrieben, aber Huggy hat ja dankenswerterweise einen didaktisch zugänglichere Erklärung dargelegt, die sich kaum mit meinem Beitrag hier überschneidet.

Zitat:

Original von Huggy
Es ist 1 zu subtrahieren, weil sich einer der Fälle in der Zeile und in der Spalte befindet, nämlich an deren Kreuzungspunkt.

Oder um es deutlich zu sagen: Das ist der eine von den 196 Fällen, wo beide Kinder Mädchen sind, die an einem Donnerstag geboren wurden.

Zitat:

Original von Huggy
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also $\begin{eqnarray*} 20/27 \end{eqnarray*}$ , was merkwürdigerweise Big Laugh

mit dem Ergebnis von HAL übereinstimmt.

Auch ohne den Smilie ist mir klar, dass du das überhaupt nicht merkwürdig findest, sondern genau so erwartet hast. smile

11.06.2015, 12:43

PhyMaLehrer

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Na ja, ich hatte hinter das Wort "Trottel" ja auch einen dicken Smiley gemacht! Augenzwinkern

Irgendwie leuchtet mir die 14x14-Tabelle von Huggy schon ein, aber das Brett vor meinem Kopf ist noch so dick, daß ich nicht sehe, warum dies bei der Frage wichtig ist.

Es ist klar, daß in der Menge aller Mädchen die am Donnerstag geborenen 1/7 ausmachen.
Aber im Fall "Junge+Mädchen" ist in einem von zwei Fällen das Mädchen das jüngere Kind - doch ganz unabhängig vom Wochentag seiner Geburt.
Und bei zwei Mädchen ist auf jeden Fall (in diesem Fall in einem Fall Big Laugh

) eines das jüngere. Auch hier spielt der Wochentag doch keine Rolle...?

Jaaa, wenn ich aus einer großen Menge Kinder zwei herausgreife und frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das jüngere Kind ein Mädchen UND an einem Donnerstag geboren?", da beginnt bei mir so ganz von fern etwas zu dämmern. Aber so ist die Frage ja nicht. Bei dieser Aufgabe steht bombenfest: Mindestens eines der Kinder ist ein Donnerstags-Mädchen. Da gibt es keine andere Wahl und keine anderen Wochentage.

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} q=1 \end{align*}$ entspricht der oft gestellte Frage "Zwei Kinder, davon mindestens ein Mädchen - mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das jüngste Kind ein Mädchen", hier nun ergibt sich dasselbe Ergebnis $\begin{align*} \frac{2}{3} \end{align*}$ , wie man es sich auch durch Betrachten der (unter der Bedingung "mindestens ein Mädchen") drei gleichwahrscheinlichen Varianten MM, MJ, JM klarmachen kann.

Das verstehe ich vollkommen.
Aber was ändert sich an dieser Betrachtung, wenn der Fragesteller dann noch sagt: "Ach ja, dieses (mindestens eine) Mädchen wurde übrigens an einem Donnerstag geboren"?

Wahrscheinlich habe ich nur ein Problem mit der Formulierung, oder?
Wie wäre es denn, wenn der Ausgangspunkt der Aufgabe heißen würde: "... davon ist mindestens eines ein blondes Mädchen." Ich sehe nicht, wie sonst noch mögliche Haarfarben, speziell auch die des zweiten Kindes, sich auf die Frage auswirken sollte.

EDIT:
Wahrscheinlich ist die Frage so gemeint, wie ich das über dem "Zitate-Kasten" geschrieben habe, oder? Dann habe ich die Aufgabe aber ganz falsch verstanden... geschockt

11.06.2015, 13:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von PhyMaLehrer
Aber was ändert sich an dieser Betrachtung, wenn der Fragesteller dann noch sagt: "Ach ja, dieses (mindestens eine) Mädchen wurde übrigens an einem Donnerstag geboren"?

In der Betrachtung ändert sich vor allem die Menge der betrachteten Familien:

Ohne den Donnerstag sind es 3 von 4 (also 147 von 196)

Mit Betrachtung der Donnerstagbedingung aber nur 27 von 196 - mit einer anderen (!) Gewichtung der Anteile MM, MJ und JM:

Nicht gleichverteilt 9xMM,9xMJ,9xJM, sondern (nachzählen!) 13xMM,7xMJ,7xJM .

11.06.2015, 13:18

Huggy

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Zitat:

Original von PhyMaLehrer
Jaaa, wenn ich aus einer großen Menge Kinder zwei herausgreife und frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das jüngere Kind ein Mädchen UND an einem Donnerstag geboren?", da beginnt bei mir so ganz von fern etwas zu dämmern. Aber so ist die Frage ja nicht. Bei dieser Aufgabe steht bombenfest: Mindestens eines der Kinder ist ein Donnerstags-Mädchen. Da gibt es keine andere Wahl und keine anderen Wochentage.

Und weil das bombenfest steht, sortierst du aus der Gesamtzahl aller Fälle, erst mal alle aus, die diese Bedingung nicht erfüllen. Es bleiben dann nur noch die Fälle in der passenden Zeile und Spalte meiner Matrix übrig. Auf diese "übrig bleibenden" Fälle bezieht sich die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit.

Das ist das inhaltliche Wesen einer bedingten Wahrscheinlichkeit, nämlich die Reduktion einer "Gesamtheit" auf eine "Teilgesamtheit", die die Bedingung erfüllt.

Zur Frage, spielt der Wochentag eine Rolle, empfehle ich die Methodik der Feuerzangenbowle. Da stellen wir uns erst mal ganz dumm und betrachten alle möglichen Wochentage. Ob der Wochentag eine Rolle spielt und wenn ja welche, wird das Ergebnis der Rechnung dann schon zeigen.

Jetzt hoffe ich mal, dass meine Einmischung nicht zusätzliche Verwirrung stiftet.

11.06.2015, 13:24

PhyMaLehrer

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Zitat:

Original von HAL 9000
In der Betrachtung ändert sich vor allem die Menge der betrachteten Familien:

Es ist also wirklich so, daß ich die Aufgabe mißverstanden habe.
Bei der Formulierung

Ein Paar hatt zwei Kinder, davon ist mindestens eins ein Mädchen welches an einem Donnerstag geboren wurde.

hatte ich das etwa so verstanden:

Die Familie xyz hat ein Kind, und zwar ein an einem Donnerstag geborenes Mädchen.
Sie hat sogar noch ein weiteres Kind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das jüngere der beiden Kinder ein Mädchen?

----------

Nun stellt sich mir nur noch die Frage: Warum bin ich der einzige, der die Aufgabe falsch verstanden hat?

Vielen Dank für die Erklärungen!
Mein Fehler war, daß ich genau eine Familie mit einem Donnerstags-Mädchen vor Augen hatte und nicht alle möglichen 2-Kind-Familien.

Ich werde wohl doch langsam alt... unglücklich

11.06.2015, 13:41

Huggy

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Zitat:

Original von PhyMaLehrer
Ein Paar hatt zwei Kinder, davon ist mindestens eins ein Mädchen welches an einem Donnerstag geboren wurde.

hatte ich das etwa so verstanden:

Die Familie xyz hat ein Kind, und zwar ein an einem Donnerstag geborenes Mädchen.
Sie hat sogar noch ein weiteres Kind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das jüngere der beiden Kinder ein Mädchen?

Jetzt bin ich ziemlich ratlos. Deine eigene Formulierung ist doch korrekt. Das Weglassen von "mindestens" verdeckt lediglich, dass auch das zweite Kind ein an einem Donnerstag geborenes Mädchen sein kann.

Üblicherweise verderben zwar zuviele Köche den Brei. Aber vielleicht hat HAL ein Argument, deine Gedanken auf den Pfad der Tugend zurückzuführen.

11.06.2015, 13:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von PhyMaLehrer
Die Familie xyz hat ein Kind, und zwar ein an einem Donnerstag geborenes Mädchen.
Sie hat sogar noch ein weiteres Kind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das jüngere der beiden Kinder ein Mädchen?

Also ich sehe da jetzt keinen Unterschied - genauso ist es doch auch gemeint. Du hast nur mit der falschen Annahme gerechnet, dass das "weitere" Kind nun völlig unabhängig davon betrachtet werden kann, d.h. mit Wkt 1/2 ein Mädchen und mit Wkt 1/7 an einem Donnerstag geboren usw. - diese angenommene Unabhängigkeit stellt sich als falsch heraus.

11.06.2015, 13:51

PhyMaLehrer

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Hhmm, dann stehe ich jetzt wieder ganz am Anfang... Forum Kloppe

Ich muß da mal noch etwas länger drüber verwirrt

...

11.06.2015, 13:58

HAL 9000

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Naja, vielleicht nehmen wir dann dieses Problem auf mit in die Liga der stochastischen Missverständnisse - das Ziegenproblem lässt grüßen: Auch dort geht es um Missverständnisse aufgrund unbewusst angenommener (aber falscher) Unabhängigkeiten.

11.06.2015, 14:57

PhyMaLehrer

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Ich habe jetzt versucht, mir die Sache tatsächlich an einer Tabelle klar zu machen.
Hhmm, es dämmert ein bißchen. Ich sehe auch, daß bei Nichtberücksichtigung der Wochentage die beiden unteren Quadranten umrandet wären, womit man auf meine 2/3 käme.
Aber trotzdem finde ich die Sache noch schwierig. ich sehe sie mir morgen noch einmal an. Vielleicht wird alles einfacher, wenn nicht gerade Donnerstag ist! Big Laugh

11.06.2015, 17:03

Huggy

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Im Prinzip entspricht die Tabelle meiner Beschreibung. Es sind lediglich Zeilen und Spalten vertauscht, was für das Ergebnis belanglos ist. Nur die Randbeschriftung finde ich etwas verwirrend. Der obere Rand gilt doch generell für das ältere Kind, nicht nur bei einem Mädchen. Ebenso gilt der linke Rand generell für das jüngere Kind, nicht nur bei einem Mädchen.

Das Ergebnis ist das Verhältnis der Zahl der rot umrandeten Zellen zu der Zahl der farbigen Zellen.

11.06.2015, 18:18

leoclid

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Also, sobald ich den Wochentag kenn, an dem das Mädchen geboren wurde, ändert sicht die Wahrscheinlichkeit dafür, das das jüngste Kind ein Mädchen ist.
NEIN! Das kann nicht sein!
_____________________________________________________________________

Wie gesagt, da stimmt etwas nicht

Sobald man mir den Wochentag sagt, an dem das Mädchen geboren wurde, kann sich nicht die Wahrscheinlichkeit dafür ändern, dass das andere Kind ebenfalls ein Mädchen ist.
_____________________________________________________________________

Sorry für meinen Einfall, na klar, ich habe mir die Tabelle nochmal angeschaut.

Aber es ist einfach nur VERBLÜFFEND.

Selbst wenn man nur die Wahrscheinlichkeit dafür betrachtet, das das andere Kind auch ein Mädchen ist.

Normarweise wären das dann ja die 1/3

Aber auf diese Art und Weise sind es

13 / 27 , die Wahrscheinlichkeit steigt also an.

Wahnsinn ist auch, das das ja nicht nur für Wochentage gilt.

Sagt also ein Fremder auf der Gasse zu mir Hey, du ich habe zwei Kinder, mindestens eines davon ist ein Mädchen, weiß ich, das das andere zu 1/3 auch ein Mädchen ist.
Erzählt er mir aber, das er mindestens ien Mädchen hat, welches als Prostituierte arbeitet, ändert sich die Wahrscheinlichkeit dafür, das das andere auch noch ein Mädchen ist.
Allerdings lässt sich die Wahrscheinlichkeit dann nicht mehr angeben, da die Anzahl der möglichen Berufe und die Begrifflichkeit des Berufes Prostituierte nicht eindeutig bestimmt ist.

edit von sulo: Hier und im Folgenden Mehrfachposts zusammengefügt.

11.06.2015, 18:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von leoclid
Sagt also ein Fremder auf der Gasse zu mir Hey, du ich habe zwei Kinder, mindestens eines davon ist ein Mädchen, weiß ich, das das andere zu 1/3 auch ein Mädchen ist.
Erzählt er mir aber, das er mindestens ien Mädchen hat, welches als Prostituierte arbeitet, ändert sich die Wahrscheinlichkeit dafür, das das andere auch noch ein Mädchen ist.

Das ist auch ein Fehlschluss.

Der Mann sagt nur, dass er zwei Kinder hat. DU bist es, der ihn fragen muss "Hast du eine Tochter, die als Prostituierte arbeitet" (mal sehen, ob du die Frage überlebst) und natürlich unter der Voraussetzung, dass du ihn nicht kennst. Augenzwinkern

Bei dem, was der Mann nämlich selbst erzählt, besteht nämlich eine hohe Abhängigkeit zur bestehenden Situation - wie beim Ziegenproblem, wo der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich der Preis befindet. Augenzwinkern

11.06.2015, 18:47

leoclid

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Warum besteht dann eine Abhängikeit zur Situation. Er kann ja im Gegensatz zum Moderator an der Situation weder etwas verschlechtern oder verbessern.

Er wird mir in beiden Fällen doch richtig antworten.

Also macht es einen Unterschied ob er sagt:

"Ich habe 2 Kinder, mindestens eines davon ist ein Mädchen, welches an einem DO geboren wurde"

oder ob er sagt.

"Ich habe 2 Kinder, mindest eines davon ist ein Mädchen. Dieses ist an einem Donnerstag geboren"

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit im 2. Falle???

________________________________________________________________

Oder anders formuliert er sagt zu
mir
"ICH habe mindestens zwei Kinder, davon ist mindestens eines ein Mädchen, ...."
ich berechne jetzt kurz die Wahrcheinlichkeit
dann sagt er
"...welches an einem DO geboren wurde"
und jetzt wieder die WK berechnen.

Dies mache ich über die angedeutete Tabelle.

11.06.2015, 19:04

HAL 9000

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Nehmen wir einfach mal 1000 Familien mit genau zwei Kindern, darunter mindestens einer Tochter. Wie wir wissen (s.o.) ist es dann bei ungefähr 2/3 davon so, dass das jüngste Kind eine Tochter ist.

So, jetzt befragst du die 1000 Väter (oder die Mütter), und die erzählen detailreich über eine der Töchter - jede Familie erzählt im Detail was anderes. Glaubst du im Ernst, dass sich dadurch die Wahrscheinlichkeit für "jüngstes Kind ist eine Tochter" massiv in Richtung 3/4 (s.o.) bewegt? Nein, sie bleibt bei 2/3.

--------

Die Situation ist eine völlig andere, wenn du den Fragenkatalog erstellst und bei den 1000 Familien wiederholst, und dann nur die Familien in die Statistik aufnimmst, die deine Fragen bejahen.

11.06.2015, 19:11

leoclid

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Nein aber wenn mir ein Vater erzählt:
"Ich habe 2 Kinder, darunter ist ein Mädchen"
Ist die WK, das das andere Kind auch ein Mädchen ist 1/3

Ein anderer Vater erzählt mir:
"Ich habe 2 Kinder, darunter ist ein Mädchen, das an einem DO geboren wurde"
Ist die WK, das das anderen Kind ein Mädchen für diesesn Vater nicht 1/3

Und lassen wir mal das mit älter / jünger.
Weg,

was heißt, wenn ich diese alle befrage, geht sie gegen 3/4???

Dadurch, das ich Informationen dazugewonnen habe, ändern sich die WK für jede einzelne Familie.

________________________________________________________________________

Und wenn der Mann mir diesen Fakt über seine Tochter erzählt, dann ist die WK halt 13 / 27, wie du uns schon erklärt hast, das das andere Kind auch eine Tochter ist.

11.06.2015, 19:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von leoclid
was heißt, wenn ich diese alle befrage, geht sie gegen 3/4???

Lies den Thread, es ist oben erklärt, statt immer neue ulkige Situationen zu konstruieren. Und ich habe NICHT gesagt "geht gegen 3/4" (im Sinne von Konvergenz), sondern "bewegt sich in Richtung (!) 3/4" - das ist ein Unterschied (hängt nämlich von den Fragen ab).

11.06.2015, 19:26

leoclid

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Ich habe den Thread doch durchgelesen. Ich habe aber halt noch diese Rückfragen:

Also aber ich habe richtig verstanden:
Ein Mann von dem bekannt ist. " Er habe zwei Kinder, davon ist eines ein Mädchen, welches an einem Donnerstag geboren wurde", dann

ist die WK dafür, das das andere Kind auch ein Mädchen ist 13/27, das ist doch richtig.

11.06.2015, 19:38

HAL 9000

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Ich würde es vorsichtiger formulieren:

Wir betrachten nur Familien mit zwei Kindern, von denen mindestens eines ein an einem Do geborenes Mädchen ist.

Greifen wir uns eine dieser Familien heraus, dass hat diese Familie mit Wkt 13/27 zwei Töchter, ja.

-------------------------------------------

Andere Situation: Betrachten wir Familien mit zwei Kindern, von denen mindestens eines ein Mädchen ist.

Greifen wir uns nun eine dieser Familien heraus, so hat diese Familie mit Wkt 1/3 zwei Töchter - auch dann, wenn der Vater nun noch ungefragt erzählt, dass er eine Tochter hat, die an einem Do geboren ist. Augenzwinkern

11.06.2015, 19:49

leoclid

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Aber nachdem er uns dies ungefragt erzählt hat, wissen wir doch, dass er zu jeden Familien gehört, für die gilt, das sie mindestens ein an einem Do geborenes Mädchen haben, oder??

11.06.2015, 19:50

HAL 9000

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Ja - aber unsere Auswahl wurde ja nicht aus diesem Kreis vorgenommen, sondern aus einem größeren!!!

Das ist alles schon mal hier im Thread so durchgekaut worden - du hast ihn zwar gelesen, aber wohl nicht gründlich durchdacht.

11.06.2015, 19:56

leoclid

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Achso verstanden.

Würfelst du einen Würfel und hälst deine Hand darüber und sagst mir:
" Es ist ne gerade Zahl" ändert sich nichts an der WK, das es eine 2 ist

Anders rum: "Würfelst du einen Würfel, der nur 2en, 4en und 6en anzeigen kann, ist die Wahrscheinlichketi eine 2 zu erhalten eine andere als beim ersten EXP:

Das hätte ich kapieren müssen

Ich bin krank , habe Mangel an gewissen Botenstoffen un deswgen seit Tagen gedankglich am Arsch!

11.06.2015, 20:10

HAL 9000

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Oder vielleicht nochmal vertiefen, was bei der "Einengung" von

Zitat:

Original von HAL 9000
Betrachten wir Familien mit zwei Kindern, von denen mindestens eines ein Mädchen ist.

nach hier

Zitat:

Original von HAL 9000
Wir betrachten nur Familien mit zwei Kindern, von denen mindestens eines ein an einem Do geborenes Mädchen ist.

eigentlich passiert:

- Von den Familien mit genau einem Jungen und genau einem Mädchen (Typ MJ sowie JM) landen 1/7 in der engeren Auswahl.

- Von den Familien mit zwei Mädchen (Typ MM) landen 13/49 in der engeren Auswahl, also mit fast doppelt so großer Chance. Grund dafür ist, dass es ja reicht, wenn eins der beiden an einem Do geboren wurde

Und schon verschieben sich die vorher gleichen Anteilverhältnisse von MJ,JM,MM in Richtung MM: Wie oben schon mal ausgeführt, sind sie nun 7xMJ,7xJM,13xMM.

12.06.2015, 15:32

leoclid

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Aber ein anderes Beispiel:

Wir betrachten alle Familien mit 2 Kindern. Die WK, dass beide von diesen Mädchen sind ist 1/4.

Wähle ich nun eine von diesen aus und der Vater erzählt mir, er habe einen Jungen, so ist die Wk dafür, dass er 2 Mädchen hat plötzlich 0.

Erzählt er mir, dass er mindestens ein Mädchen hat, beträgt die Wahscheinlichkeit, dass das andere auch ein Mädchen ist 1/3, sie bleibt nicht bei 1/4.

12.06.2015, 17:09

HAL 9000

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Du hast einen Narren an diesem Erzählmist gefressen, was? Ich denke, du hast ein grundsätzliches Verständnisproblem mit dem Wahrscheinlichkeitsbegriff:

Wenn wir aus irgendeiner Grundgesamtheit von Leuten eine Persion herausgreifen, die mit einer Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine gewisse Eigenschaft hat, und anschließend diese Person befragen nach dieser Wahrscheinlichkeit, dann ändert sich das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ vom Auswahlprozess nicht!!!

Oder nehmen wir eine Zufallsgröße: Die hat eine gewisse Verteilung, beschrieben z.B. mit $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ bei diskreten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , etwa bei der Binomialverteilung. Nehmen wir nun aber eine konkrete Beobachtung $\begin{eqnarray*} X(\omega)=a \end{eqnarray*}$ , die natürlich ein fester Wert ist, dann sagen wir aufgrund dieser einen Beobachtung doch auch nicht " $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist einpunktverteilt im Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , die Beobachtung beweist es".

12.06.2015, 17:18

Leoclid1

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Wir befragen diese Person doch auch nicht nach dieser Wahrscheinlichkeit.

Wir fragen doch noch einem Merkmal.

Wenn wir folgendes Experiment durchführen:

Wir nehmen alle Paare mit 2 Kindern und losen eines aus und befragen es danach, ob sie mindestens einen Jungen haben, dann aendert sich durcg, ihre Antwort nichts an der WK, dass sie 2 jungen.haben.

Habe ich das richtig kapiert

12.06.2015, 17:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leoclid1
Wir nehmen alle Paare mit 2 Kindern und losen eines aus und befragen es danach, ob sie mindestens einen Jungen haben, dann aendert sich durcg, ihre Antwort nichts an der WK, dass sie 2 jungen.haben.

Nicht was diesen Auswahlprozess betrifft, ja.

Zitat:

Original von leoclid
Wähle ich nun eine von diesen aus und der Vater erzählt mir, er habe einen Jungen, so ist die Wk dafür, dass er 2 Mädchen hat plötzlich 0.

Es ist so: Wenn du Familien mit zwei Kindern betrachtest, aber von vornherein nur die herausfilterst, die mindestens einen Jungen hast und dann aus denen eine Familie auswählst, dann ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Mädchen Null, ja.

Es ist dann eine andere Grundgesamtheit, und damit ein anderes (bedingtes) Wahrscheinlichkeitsmaß, was dann wirkt.

Ich frage mich wirklich, ob du das hier

Zitat:

Original von HAL 9000
Nehmen wir einfach mal 1000 Familien mit genau zwei Kindern, darunter mindestens einer Tochter. Wie wir wissen (s.o.) ist es dann bei ungefähr 2/3 davon so, dass das jüngste Kind eine Tochter ist.

So, jetzt befragst du die 1000 Väter (oder die Mütter), und die erzählen detailreich über eine der Töchter - jede Familie erzählt im Detail was anderes. Glaubst du im Ernst, dass sich dadurch die Wahrscheinlichkeit für "jüngstes Kind ist eine Tochter" massiv in Richtung 3/4 (s.o.) bewegt? Nein, sie bleibt bei 2/3.

mal wirklich verinnerlicht hast, statt ständig neues (und am Ende doch alter kalter Kaffee) auszubrüten.

12.06.2015, 19:55

leoclid

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Achso jetzt is klar.
Das gilt ja auch wenn ich die afragen stelle
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Und bei der betrachteten Frage wurde tatsächlich nur kleine Grundgesamtheit beruecksichtig

Denn wenn ich zu allen möglichen Vätern gehe mit 2 Kindern und Frage: hast du einen Sohn?.

3/4 werden mit ja antworten und 1/4 mit nein

Erfahrungsgemäß haben 1/4 aller Väter zwei Söhne.

Also muss doch jeder dritte der befragten mit ja geantworteten Väter zweiten Söhne haben.

Aber hier geht es ja wieder um die kleinere Gesamtheit jetzt is klar
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Dann sagt aber Wikipedia was falsches:

Wenn man da junge Mädchen Paradoxon eingibt. Die formulieren.unter zweite Fragestellung etwas, an das ich auch erst geglaubt hBe
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Was is damit???

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