allgemeine Lösungsformel DGL

10.06.2015, 14:38

akamanston

allgemeine Lösungsformel DGL

Hi,
irgendwie bin ich grad noch blinder als sonst. Ich schaffs einfach nicht die Werte abzulesen.
Es geht um die allgemeine Lösungsformel für homogene, lineare DGL.

allgemeine Lösungsformel ist: $\begin{eqnarray*} u(t)=u_{0} e^{A(t)-A(t_{0} } \end{eqnarray*}$ für DGL der Form $\begin{eqnarray*} u^{'}=au \end{eqnarray*}$

Mit dieser Formel soll ich die Lösung für folgende DGL bestimmen:

$\begin{eqnarray*} u^{'}(t)=u(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u(0)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und was hat das mit $\begin{eqnarray*} A(0)=0 \end{eqnarray*}$ zu tun?

deutlicher wird das Problem bei der nächsten Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} u^{'}(t)=2u_{t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u(0)=1 \end{eqnarray*}$

ich komm damit einfach nicht klar.

Lösung wäre ja in etwa so: $\begin{eqnarray*} u(t)=1e^{A(t)-A(t_{0}) } \end{eqnarray*}$

wieso benötige ich eigentlich $\begin{eqnarray*} A(t_{0} \end{eqnarray*}$ ? Ich bin nämlich auch auf die Formel $\begin{eqnarray*} u(t)=c \cdot e^{A(t)} \end{eqnarray*}$ gestoßen. Nach dieser wäre $\begin{eqnarray*} u(0)=c \end{eqnarray*}$

10.06.2015, 14:44

HAL 9000

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Bitte das gesamte Umfeld lesen, und nicht nur ein paar Brocken rausreißen und hier abkippen:

Deine Ausführungen machen nur Sinn, wenn $\begin{align*} A(t) \end{align*}$ eine Stammfunktion von $\begin{align*} a(t) \end{align*}$ ist.

Das $\begin{align*} -A(t_0) \end{align*}$ ist dafür da, die Anfangsbedingung $\begin{align*} u(t_0)=u_0 \end{align*}$ zu erfüllen, selbst wenn man eine beliebige solche Stammfunktion $\begin{align*} A \end{align*}$ nimmt (d.h. Integrationskonstante ist damit wurstegal).

10.06.2015, 14:55

akamanston

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Zitat:

Deine Ausführungen machen nur Sinn, wenn A(t) eine Stammfunktion von a(t) ist.

ja stimmt, es es natürlich. Wenn ich so eine Angabe lesen, dann denke ich immer, dass das für die Profis hier klar ist??!!?

OK, und wie gehts nun weiter?

10.06.2015, 15:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von akamanston
Wenn ich so eine Angabe lesen, dann denke ich immer, dass das für die Profis hier klar ist??!!?

Saudumme Begründung für das Weglassen der Legende benutzter Symbole.

Zitat:

Original von akamanston
OK, und wie gehts nun weiter?

Aus meiner Sicht sind wir doch fertig - was gibt's denn noch?

10.06.2015, 15:14

akamanston

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Also wäre dann die Lösung von der zweiten Aufgabe

$\begin{eqnarray*} u(t)= e^{t-t_{0} } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A(t)=t, A(t_{0})=t_{0} \end{eqnarray*}$

10.06.2015, 15:18

HAL 9000

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Du redest von

Zitat:

Original von akamanston
$\begin{eqnarray*} u^{'}(t)=2u_{t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u(0)=1 \end{eqnarray*}$

Nein, da ist $\begin{align*} a(t)=2 \end{align*}$ mit Stammfunktion $\begin{align*} A(t)=2t \end{align*}$ und somit dann

$\begin{align*} u(t)= u_0\cdot e^{A(t)-A(t_0)} = 1\cdot e^{2t-0} = e^{2t} \end{align*}$ .

10.06.2015, 17:44

akamanston

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okay genau deshalb checkte ich es nicht.

mir war zB nicht klar, dass bei $\begin{eqnarray*} u^{'}=au \end{eqnarray*}$ a auch von t abhängt. Jetzt schließt sich der Kreis bezügllich der Aussage "A ist Stammfunktion von a".

a(t)=2
--> A(t)=2t
somit ist A(0)=2*0=0
A(t0)=2*t0, wieso ist bei dir t0=0? ist t0 immer 0?
-------------------------

kann ich sagen (in bezug auf die erste aufgabe), dass wegen A(t)=t --> A(0)=0. weil die "abstände der zahlen" (oder wie man das sonst ausdrücken kann) immer konstant sind gilt somit auch auch A(123)=123. ist nun A(t0)=t0 =0?

ich komme gleich zu den inhomogenen aufgaben, ich denke da mach ich dann wohl einen neuen thread auf wenn es hapert oder=)

danke hal

10.06.2015, 17:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von akamanston
A(t0)=2*t0, wieso ist bei dir t0=0? ist t0 immer 0?

Nichts da mit "immer": Anfangswert gemäß deiner Angabe ist $\begin{align*} u({\color{red}0})=1 \end{align*}$ .

Wäre stattdessen $\begin{align*} u(3)=\pi \end{align*}$ die Anfangsbedingung, dann lautet die Lösungsfunktion $\begin{align*} u(t)=\pi e^{2t-6} \end{align*}$ .

10.06.2015, 17:52

akamanston

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um den thread mit einem letzten beispiel abzuschließen

wäre somit
die lösung für $\begin{eqnarray*} u^{'}=2tu(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u(0)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(t)=e^{t^{2} } \end{eqnarray*}$

10.06.2015, 17:54

HAL 9000

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Ja.

10.06.2015, 17:56

akamanston

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bis bald du Gott

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