Integral berechnen

10.06.2015, 16:49	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen Moin, ich möchte zur der folgenden Funktion die Stammfunktion bilden. $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{(1+x^2)} \end{eqnarray}$ Den ersten Summanden zu integrieren macht keine Probleme. Die Stammfunktion lautet wie folgt: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(x)=ln(x)+C \end{eqnarray}$ Der zweite Summand bereitet mir da mehr Kopfzerbrechen. $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{2}{(1+x^2)} \end{eqnarray}$ Ich habe die Substitution verwendet um das Integral zu bestimmen. $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dx}=2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx=\frac{dz}{2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \frac{2}{z}\frac{dz}{2x} \,=\int_{}^{} \! \frac{1}{x} \frac{dz}{z} \,=\frac{1}{x} \cdot ln(1+x^2)+C \end{eqnarray}$ Wo liegt der Fehler? Laut Lösung soll da insgesamt folgende Stammfunktion herauskommen. $\begin{eqnarray} F(x))=ln(x)+2 \cdot arctan(x)+C \end{eqnarray}$
10.06.2015, 16:52	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen dein Fehler ist, dass 1/x keine Konstante ist, die vor das Integral klammern kann. arctan(x) ist eine bekannte Stammfunktion von 1/(1+x^2)
10.06.2015, 17:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es, die Substitution wurde nicht vollständig durchgezogen - tatsächlich käme mit der Substitution $\begin{align} z=1+x^2 \end{align}$ und damit $\begin{align} x=\sqrt{z-1} \end{align}$ $\begin{align} \int \frac{2}{1+x^2} ~ \dd x = \int \frac{1}{z\sqrt{z-1}} ~ \dd z \end{align}$ . heraus, was wenig bringt. @wopi Nicht gleich einen Anfall kriegen, weil ich diese Ergänzung anbringe. Eigentlich war mein Beitrag viel länger und besser erklärend, aber aus Respekt vor dem dir anscheinend enorm wichtigen "Threadbesitz" habe ich ihn auf die obige Ergänzung zusammengestrichen - und bin auch schon wieder weg.
10.06.2015, 17:21	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergänzungen nach Ende des Gesprächs stören nicht! Mir geht es auch nie um 'Threadbesitz' sondern um die Vermeidung von Verwirrungen! :-)
10.06.2015, 17:26	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
@wopi, ich danke dir erstmal. @HAL 9000, wie kommst du auf die Substitution?

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