Lösungsmenge Exponentialgleichung

11.06.2015, 12:06

NilsHolgerson

Lösungsmenge Exponentialgleichung

Meine Frage:
Hi,

ich habe folgende Gleichung nach X aufzulösen:
\sqrt[8]{0,125}^{4-\frac{x}{3} } = 2^{\sqrt{x-6} }

Meine Ideen:
Ich habe diese schon bis hierhin vereinfacht:
0,125^{\frac{12-x}{24} } = 2^{\frac{x-6}{2} }

Nun komme ich leider nicht mehr weiter.
Lt. Wolfram kommt für x = 4 raus.

Kann mir jemand weiterhelfen ?

Vielen Dank vorab.

11.06.2015, 12:08

HAL 9000

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$\begin{align*} \sqrt[8]{0{,}125}^{4-\frac{x}{3}} = 2^{\sqrt{x-6}} \end{align*}$

Erstmal logarithmieren, da eignet sich hier am besten $\begin{align*} \log_2 \end{align*}$ .

11.06.2015, 12:11

Nils1231412412

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Dafür müssen die Basen doch gleich sein oder ?
Kannst du mir bitte einen Schritt weiter rechnen ?

Vielen Dank

11.06.2015, 12:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nils1231412412
Dafür müssen die Basen doch gleich sein oder ?

Nein. Verwende $\begin{eqnarray*} \log_2(a^b) = b\cdot \log_2(a) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von NilsHolgerson
Lt. Wolfram kommt für x = 4 raus.

Ganz bestimmt nicht - es sei denn, du hast dich in der Formel verschrieben: Allein der Term $\begin{eqnarray*} \sqrt{x-6} \end{eqnarray*}$ bewirkt, dass $\begin{eqnarray*} x\geq 6 \end{eqnarray*}$ sein muss, damit der Term überhaupt definiert ist!!!

12.06.2015, 02:09

mYthos

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Logarithmieren ist hier nicht nötig und man sollte dies auch - wenn möglich - umgehen.
Allein schon der Wurzel im Exponenten wegen.

Bringe beide Seiten auf die gleiche Basis 2.

Das geht, denn $\begin{eqnarray*} 0,125 = \frac 1 8 = (\frac 1 2)^3 = 2^{-3} \end{eqnarray*}$

Anschließend die Exponenten gleichsetzen und die Wurzelgleichung (wird quadr. Gl.) lösen.
Die Lösungsmenge ist übrigens Edit: ~~{10, 15}~~, wahrscheinlich hast du in Wolfram falsch eingegeben.

mY+

12.06.2015, 09:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Logarithmieren ist hier nicht nötig und man sollte dies auch - wenn möglich - umgehen.
Allein schon der Wurzel im Exponenten wegen.

Was hat denn das damit zu tun? Und mit dem ersten Satz beziehst du dich auf Exponentenvergleich - Ok, ist möglich, aber keinesfalls die bessere Wahl, sondern eher mehr Schreibarbeit: Man schleppt die ganze Zeit unnötigerweise die Basis 2 durch die Rechnung, was sich mit dem Logarithmieren $\begin{eqnarray*} \log_2 \end{eqnarray*}$ sofort erübrigt.

12.06.2015, 14:32

mYthos

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Zitat:

Original von HAL 9000
...
Was hat denn das damit zu tun? Und mit dem ersten Satz beziehst du dich auf Exponentenvergleich - Ok, ist möglich, aber keinesfalls die bessere Wahl, sondern eher mehr Schreibarbeit
...

Na ja, die Basis 2 kann ziemlich bald weggelassen werden (um die Wurzel nicht mit dem log zu multiplizieren .. könnte etwas verwirren, meist wird auch mit ln logarithmiert; bei ld muss man links ja auch erst umformen):

$\begin{eqnarray*} 2^{-\frac 3 8 (4 - \frac x 3}) = 2^{\sqrt{x-6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac 3 2 + \frac x 8 = \sqrt{x-6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Ich glaube nicht, dass dies mehr Schreibarbeit ist.
Übrigens haben meine angegebenen Lösungen nicht gestimmt, sorry, $\begin{eqnarray*} x = 8 \sqrt{22} + 44 \end{eqnarray*}$

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