Brüche zusammenfassen

11.06.2015, 13:58

houseshow

Brüche zusammenfassen

Hallo, habe folgende Aufgabe zu lösen, komme aber nicht weiter...
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte, ist der von mir ausgeführte erste Schritt überhaupt richtig?

Grüße

[attach]38368[/attach]
(Draufklicken, dann kann man es lesen xD)

11.06.2015, 14:01

Mi_cha

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der Schritt ist zwar nicht falsch aber wenig hilfreich. Bei der Addition/Subtraktion von Brüchen muss man deren Hauptnenner bilden und die Brüche entsprechend erweitern. Wie lautet der HN hier?

11.06.2015, 18:05

houseshow

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Ok also Nenner2 x Nenner1 , Zähler1 x Nenner2 und Nenner1 x Nenner2, Zähler2 x Nenner1 oder?

Dann komme ich aber beim kürzen nicht mehr klar.. hier das Foto:

[attach]38376[/attach]

Wo ist da der Fehler? (Habe es unten nochmal sauber hingeschrieben).

11.06.2015, 18:31

Mi_cha

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das ist ein bisschen zu viel des Guten beim Erweitern. Wenn du dir die beiden Nenner anschaust, stellst du fest, dass sie sich nur geringfügig unterscheiden.

$\begin{eqnarray*} x^2(x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x(x+1)^2 \end{eqnarray*}$ : der HN ist leicht zu erkennen, er ist $\begin{eqnarray*} x^2(x+1)^2 \end{eqnarray*}$ . Ich hoffe, dass du das siehst. Wenn nicht, frag nochmal.

Demnach reicht es, den ersten Bruch mit $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ und den zweiten Bruch mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu erweitern.

Zitat:

Nenner2 x Nenner1 , Zähler1 x Nenner2 und Nenner1 x Nenner2, Zähler2 x Nenner1

Diese Variante benötigt man, wenn du Nenner teilerfremd sind. Das liegt hier aber nicht vor.

11.06.2015, 19:55

houseshow

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Zitat:

Original von Mi_cha
$\begin{eqnarray*} x^2(x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x(x+1)^2 \end{eqnarray*}$ : der HN ist leicht zu erkennen, er ist $\begin{eqnarray*} x^2(x+1)^2 \end{eqnarray*}$ . Ich hoffe, dass du das siehst. Wenn nicht, frag nochmal.

Ich sehe das sie sich sehr ähnlich sind aber weis nicht wie du auf $\begin{eqnarray*} x^2(x+1)^2 \end{eqnarray*}$ kommst.
Ich bin was Brüche angeht echt ne Niete (um ehrlich zu sein, ich bin in mathe generell ziemlich schlecht ^^), deswegen habe ich auch im ersten Versuch, erstmal versucht die Dinger auszuklamern. Ich versuch das gerade geistig zu verstehen, ich gehe also im Prinzip so vor wie ich vorhin geschrieben haben, nur das ich das ganze nicht mit dem kompletten Term mache sondern mit wie du sagtest x + 1 und x? Aber warum ist das oben geschriebene der HN? Weil sowohl N1 und N2 darin Platz finden?

Danke auf jedenfall für deine Mühe ^^

11.06.2015, 20:12

Mi_cha

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Zitat:

Aber warum ist das oben geschriebene der HN? Weil sowohl N1 und N2 darin Platz finden?

Das ist ulkig formuliert, trifft es aber ganz gut.

Ich erkläre das Finden des HN an einem einfachen Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 8 + \frac 1 6 \end{eqnarray*}$
Hier kann man völlig richtig auf den Nenner $\begin{eqnarray*} 8 \cdot 6 = 48 \end{eqnarray*}$ erweitern. Dann bekommt man
$\begin{eqnarray*} \frac {1 \cdot 6}{8 \cdot 6} + \frac {1 \cdot 8}{ 6 \cdot 8} = \frac {14} {48} \end{eqnarray*}$
Nun sollte man noch kürzen und erhält schließlich $\begin{eqnarray*} \frac {7} {24} \end{eqnarray*}$ .

Einfacher ist es, direkt den passenden HN zu ermitteln. Das geht über die sog. Primfaktorzerlegung. Bei dieser werden die einzelnen Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.
$\begin{eqnarray*} 8=2^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6=2 \cdot 3 \end{eqnarray*}$

Nun nimmt man von jedem vorkommenden Primfaktor die höchste Potenz, also: $\begin{eqnarray*} HN = 2^{3} \cdot 3 =24 \end{eqnarray*}$ . Entsprechen muss also nur noch mit 3 bzw. 4 erweitert werden.

-----
Bei deiner Aufgabe sind die Primfaktoren folgende:
$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \cdot (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ .

Es gibt lediglich 2 Faktoren, deren höchste Potenz 2 ist.
So ergibt sich der HN zu $\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ .

11.06.2015, 21:19

houseshow

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Also bei dem oben genannten Beispiel mit den Zahlen komme ich mit, aber bei meiner Aufgabe mit den variablen blicke ich nicht durch wie man das ganze macht, habe auch mal nach Primfaktorzerlegung gegoogelt finde da allerdings nur Aufgaben mit Zahlen (ohne Variablen).

Also beim linken Nenner ist der Primfaktor mit der höchsten Potenz x^2 und beim rechten Nenner ist es (x + 1)^2 , sehe ich das richtig?

Demnach erweitere ich Zähler 1 mit (x + 1)^2 und Zähler 2 mit x^2, richtig?

11.06.2015, 21:52

Mi_cha

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das wäre wieder etwas zu viel erweitert.
Du musst es schaffen, dass beide Nenner gleich werden. Damit das hier der Fall ist, muss der erste Bruch - wie bereits erläutert - mit $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ erweitert werden, denn dieser Faktor fehlt noch, um auf $\begin{eqnarray*} (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ zu kommen, denn einmal ist das $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ ja schon vorhanden.
Entsprechend beim zweiten Bruch: hier fehlt ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , um auf $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ zu kommen; ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist schon da.

Das ganze sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{(2x-3) \cdot \color{red}(x+1)}{x^2 \cdot (x+1) \cdot \color{red}(x+1)}- \frac{(3-4x) \cdot \color{red}x}{x \cdot (x+1)^2 \cdot \color{red} x} \end{eqnarray*}$

Beide Nenner sind nun gleich.

11.06.2015, 22:07

houseshow

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Jetzt klingelts, danke! Und vielen Dank für deine Geduld, du hast dir bestimmt ein ums andere mal an den Kopf gefasst xD

Noch einen schönen Abend smile

11.06.2015, 22:09

Mi_cha

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Nein, das habe ich nicht; ich bin recht geduldig Augenzwinkern

Dir auch einen schönen Abend. Wink

PS ich denke, den Rest schaffst du (einfach im Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen)

13.06.2015, 14:46

houseshow

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Hallo nochmal,

habe das ganze jetzt hinbekomme, so glaube ich zumindest.
Habe nun aber folgendes Problem, habe eine andere Lösung als in der vorgegebenen Lösung und finde den Fehler nicht, sofern überhaupt einer vorhanden ist, kann ja sein das die Lösung falsch ist.

Hier mal mein Versuch:
[attach]38388[/attach]

In der Musterlösung sind es allerdings -4x anstatt -2x, ansonsten stimmt alles.

Wäre schön wenn du oder wer anders nochmal drüberschauen könnte smile

13.06.2015, 14:53

Mi_cha

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Du hast im Zähler jeweils den falschen Faktor gewählt.
Beim ersten Bruch wird mit (x+1) erweitert - also der Zähler und Nenner mit diesem Faktor multipliziert; bei zweiten Bruch entsprechend mit x.

Vergleiche deine Erweiterung mit meinem Post von 11.06.2015 21:52

13.06.2015, 15:33

houseshow

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Ah natürlich , Jetzt passt es, danke nochmal smile

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