Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit

11.06.2015, 14:53

JuhuMathe_

Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit

Meine Frage:
Hey, bin bei dem Thema Stetigkeit angelangt, und ich denke vom Prinzip her habe ich die ?-?-Definition der Stetigkeit verstanden, nur habe ich keine Ahnung, wie ich das ohne zu zeichnen lösen soll.
Sprich:
zu zeigen, dass f:R->R, f(x):=2x in jedem Punkt a stetig ist.
Rein logisch betrachet ist es klar stetig. Aber wie rechnet man ? und ? aus, bzw wie zeigt man das so allgemein?

Meine Ideen:
Formel ist ja:
$\begin{eqnarray*} \forall epsilon>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists delta>0 : \forall xD \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_{0}|<delta \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0})|<epsilon \end{eqnarray*}$

Gibt es da eine Schritt für Schritt Anleitung?
Bei einer zweiten Aufgabe soll das gleiche mit $\begin{eqnarray*} x^{2} + 2x \end{eqnarray*}$ gemacht werden.
Bitte um Hilfe smile

11.06.2015, 18:27

Gast11022013

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Für eine Schritt für Schritt Anleitung kannst du dir vielleicht dieses Video mal ansehen:

https://www.youtube.com/watch?v=ZMjoS8RJPfk

11.06.2015, 19:52

JuhuMathe_

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mh...irgendwie kann ich das darauf nicht anwenden.
Der hat viel mehr vorgegeben. Er hat bereits nen Xo und eine komplette Gleichung oben.
Bei den linearen Zeug schreibt er das einfach auf ohne groß was zu rechnen, schreibt es dann andersrum wieder auf und sagt, dass es so nen Beweis ist.

In einem anderen Video mit x² hat er auch wieder alles gegeben und denkt sich zwischendrin selber nen delta aus...

Also um es kurz zu fassen, ich habs nicht gerafft xD

11.06.2015, 20:03

Elvis

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Analysis I Vorlesung, 28. Stunde, Stetigkeit: http://timmsrc.uni-tuebingen.de/Player/P..._002_ana1b_0001

Wenn Du das nicht verstehst, studiere die gesamte Vorlesung (das sind nur ca 45 Zeitstunden).

12.06.2015, 11:43

Elvis

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RE: epsilon-delta-Definition der Stetigkeit

Zitat:

Original von JuhuMathe_
Rein logisch betrachet ist es klar stetig. Aber wie rechnet man ?

So etwas darf man nicht sagen, denn das ist unlogisch. Logik ist ein wichtiger Teil der Mathematik, denn sie ist die Grundlage der Beweistechnik.

Nun will ich nicht nur meckern, deshalb zeige ich dir, wie man die 1. Funktion als stetig nachweist, vielleicht kannst du das dann auch für die 2. Funktion und die nächsten 1000 Beispiele.

Definition: Sei $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R, a<b \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Intervall.
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\to \mathbb R, x\to f(x) \end{eqnarray*}$ heißt stetig im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in [a,b] \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta> 0\forall x\in [a,b] : |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Behauptung: $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to \mathbb R, x\to f(x)=2x \end{eqnarray*}$ ist stetig für jedes $\begin{eqnarray*} x_0\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest, setze $\begin{eqnarray*} \delta:=\frac {\epsilon} 2 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta=\frac {\epsilon} 2\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|=|2x-2x_0|=2|x-x_0|<2\delta=2\frac {\epsilon} 2=\epsilon \end{eqnarray*}$ q.e.d.

12.06.2015, 13:38

Iorek

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RE: epsilon-delta-Definition der Stetigkeit

Zitat:

Original von Elvis
Nun will ich nicht nur meckern, deshalb zeige ich dir, wie man die 1. Funktion als stetig nachweist, vielleicht kannst du das dann auch für die 2. Funktion und die nächsten 1000 Beispiele.

Gegen deinen Beweis lässt sich natürlich nichts sagen, allerdings ist das bereits eine "zu mustergültige" Lösung; das $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ ist einfach so von dir festgelegt, wie du darauf kommst bleibt aber offen.

[WS] Folgen, der Teil "Zur Wahl des $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ " zielt zwar auf Folgen ab, die Idee dahinter lässt sich aber auch auf die Bestimmung des $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ anwenden.

12.06.2015, 14:37

Elvis

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Musterlösung nur für ein Beispiel halte ich für vertretbar, vor allem weil dies auch in der von mir empfohlenen Vorlesung gemacht wird. Für den Fragesteller bleibt noch genug zu tun für andere Funktionen, und er soll darüber nachdenken, warum ich die Definition ein wenig verändert habe und warum ich ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} \delta(\epsilon) \end{eqnarray*}$ gewählt habe.

12.06.2015, 23:33

JuhuMathe_

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Jaaa... danke für die Lösung, aber ich wollte eig gerne den Rechenweg wissen, den scheint es nie wirklich zu geben, jeder weiß bereits das delta oder epsilon zur Aufgabenstellung...nur ich eben nich xD

Hatte das im Video so verstanden: |2X-2Xo| < epsilon
dann ausklammern: 2 |X-Xo| < epsilon und dann durch die 2
macht X-Xo < epsilon/2
Also delta = epsilon/2
Was fängt man nun damit an?

für x^2 zb scheint das dan nicht mehr so gut zu funktionieren.
Aber naja. morgen schreib ich eh die Klausur, von daher is es nun egal

Danke trotzdem für eure Hilfe. Manchen is Matheverständnis eben nicht gegeben xD

13.06.2015, 09:02

Elvis

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Wenn Du eine Klausur schreibst, musst Du vorher eine Vorlesung gehört haben. Dabei wird vieles definiert, behauptet und bewiesen und auch manches erklärt. Wer es versteht, dem wird es nützen.

Grundbegriffe der Analysis 1 sind
Mengen, Funktionen, Folgen und Reihen, reelle Zahlen
stetige Funktionen, differenzierbare Funktionen, Riemann-integrierbare Funktionen
elementare Funktionen (id,affin-linear,potenzfunktionen,exp,log,trigonometrische Funktionen,...)

Wer das verstanden hat und damit umgehen kann, darf sich weiter mit Analysis 2,3,4 beschäftigen ... wer dazu noch viele weitere mathematische Theorien verstanden hat, kann vielleicht irgendwann einmal Mathematik betreiben.

Wie Du oben siehst, ist Stetigkeit der einfachste Begriff, der für Funktionen definiert und erklärt wird.

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