Funktion "spalten", Umkehrfunktion

11.06.2015, 20:18

Tempi

Funktion "spalten", Umkehrfunktion

Hi, es geht um Folgende Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=ln| \frac{e^x-1}{e^x+8} | \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen, dass f(x) auf dem Teilbereich $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ eine Umkehrfunktion besitzt und den Funktionsterm bestimmen. Der Funktionsterm ist ja offensichtlich die linke Seite von f(x). Nur wie spalte ich die Funktion so auf, dass ich nur noch den linken Teil als Funktion dastehen habe? Also quasi $\begin{eqnarray*} f(x)=ln| \frac{e^x-1}{e^x+8}|, x\in (-\infty ,0) \end{eqnarray*}$

11.06.2015, 22:53

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion "spalten", Umkehrfunktion

Zitat:

Original von Tempi
Hi, es geht um Folgende Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=ln| \frac{e^x-1}{e^x+8}| \quad -\infty < x <0 \end{eqnarray*}$

Nun, man versucht es eben Schritt für Schritt.

Obiges ist gleichwertig mit:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln \bigg(\frac{|e^x-1|}{e^x+8}\bigg) \quad -\infty < x < 0 \end{eqnarray*}$

oder:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln \bigg(\frac{1-e^x}{e^x+8}\bigg) \quad -\infty < x <0 \end{eqnarray*}$

und jetzt ist man betragsfrei smile

$\begin{eqnarray*} y=ln \bigg(\frac{1-e^x}{e^x+8}\bigg) \quad -\infty < x <0 \end{eqnarray*}$

nach x auflösen und dann wieder x mit y vertauschen, damit die Umkehrfunktion und die Funktion in ein Koordinatensystem passt.

12.06.2015, 00:43

Tempi

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das verstehe ich soweit Freude

Nur jetzt habe ich Probleme beim Auflösen:

$\begin{eqnarray*} y=ln\left(\frac{1-e^x}{e^x+8} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^y=\frac{1-e^x}{e^x+8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^y(e^x+8)=1-e^x \end{eqnarray*}$

Wie kann ich hier denn x und y trennen? verwirrt

12.06.2015, 01:39

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie immer ist das Standard, ausmultiplizieren, Glieder mit $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ auf eine Seite, ausklammern ...

mY+

13.06.2015, 21:23

Tempi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt lange hin und her gerechnet und drehe mich immer im Kreis. Ich bekomme es nicht hin $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ voneinander zu trennen traurig

13.06.2015, 21:30

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} y=ln\left(\frac{1-e^x}{e^x+8} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^y=\frac{1-e^x}{e^x+8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^y(e^x+8)=1-e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^ye^x+8e^y=1-e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^ye^x+ e^x =-8e^y +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x(e^y + 1)=1 -8e^y \end{eqnarray*}$

geht der Rest ?

13.06.2015, 22:01

Tempi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja der Rest geht, danke Freude

$\begin{eqnarray*} e^x=\frac{1-8e^y}{e^y+1} \end{eqnarray*}$

Umkehrfunktion ist dann:

$\begin{eqnarray*} y=ln\left(\frac{1-8e^x}{e^x+1} \right) \end{eqnarray*}$

Ja der Rest geht, danke Freude

Das schaut im Vergleich zum 1. Graph aber nicht wie die Umkehrfunktion aus, oder? verwirrt

13.06.2015, 22:33

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

sieht aber doch danach aus !

13.06.2015, 22:50

Tempi

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, tatsächlich. Da hab ich die Spiegelachse wohl wo anders gesehen Hammer

Neue Frage »

Antworten »

Funktion "spalten", Umkehrfunktion

Verwandte Themen