Kleinster Abstand zwischen Graph und Punkt Q

11.06.2015, 20:27

user234

Kleinster Abstand zwischen Graph und Punkt Q

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Von welchem Punkt des Graphen von f hat der Punkt Q den kleinsten Abstand?

f(x)=x^2
Q (1,5/0)

Meine Ideen:
Ich bin schon ein paar Schritte weit gekommen, allerdings bin ich mir nicht ganz sicher und weiß an einer Stelle nicht weiter:

Ich habe einen Punkt P auf dem Graphen von f(x) quasi "festgelegt".
Mir ist klar, dass hier der Satz des Phytagoras verwendet werden muss.

d habe ich als Differenz zwischen P und Q, also als Strecke dqp

Die zwei übrigen Seiten des Dreiecks, die in der Skizze zu sehen sind, habe ich als (xq-xp) und (yq-yp) bestimmt
Mit Hilfe des Satz des Phytagoras sieht es dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(xq-xp)^2 + (yq-yp)^2} = dqp \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich für xq 0 eingesetzt, für xp 1,5
yq ist ja einfach x und yp muss ja x^2 sein

Wenn man das nun in die Gleichung einfügt, ergibt sich dies:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4-2x^2+2,25}=dqp(x) \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich jetzt keine Ahnung wie ich vorgehen muss... Wir hatten noch keine Differenzialgleichung, falls man das verwenden könnte, aber ich habe einen TI.

11.06.2015, 20:44

Dopap

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ich würde P , den variablen Kurvenpunkt P(x,x^2) nehmen.

$\begin{eqnarray*} d^2(x)= (x)^2 +(x^2-1.5)^2=x^4-2x^2 +2.25 \end{eqnarray*}$

gut, mit dem TI ist das kein Problem. Man plottet die Funktion und lässt sich das Minimum vorrechnen.

Man kann aber auch in Obigem z=x^2 substituieren und bestimmt ohne Differentialrechnung den Scheitel der Parabel.

11.06.2015, 20:54

user234

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okay, vielen Dank!

11.06.2015, 23:26

opi

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RE: Kleinster Abstand zwischen Graph und Punkt Q

Zitat:

Original von user234
Q (1,5/0)

Angabe und Ansatz passen nicht zueinander, Koordinaten bei der Angabe von Q vertauscht?

Zitat: