Zwei Gleichungen in drei Variablen

12.06.2015, 11:58

mathe987

Zwei Gleichungen in drei Variablen

Hallo,

wir beschäftigen uns gerade mit Gleichugssystemen mit zwei Gleichungen in drei Variablen (bzw. Ebenen) und in meinem Buch steht etwas, was ich nicht ganz nachvollziehen kann.

Wenn zwei Gleichungen gegeben sind:
$\begin{eqnarray*} a_1 x + b_1 y + c_1 z =d_1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a_2 x+ b_2 y + c_2 z =d_2 \end{eqnarray*}$ ,

gibt es eben die drei Lösungsfälle (keine Lösung, eine einparamtetrige Lösung und eine zwei parametrige Lösung), aber was ich nicht ganz verstehe:

"Sind die inhomogenen Gleichungen proportional, so sind es natürlich auch die homogenen. Und sind die homogenen Gleichungen nicht proportional, so sind es natürlich die inhomogenen auch nicht."

Wieso kann ich aus $\begin{eqnarray*} d_1 = k \cdot d_2 \end{eqnarray*}$ schließen, dass die homogenen Gleichungen ebenfalls proportional sind (mit dem Faktor k)?

Würde mich über eine Erklärung sehr freuen, denn durch Recherche im Internet bin ich wenig schlau geworden!

Danke!

12.06.2015, 12:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathe987
Wieso kann ich aus $\begin{eqnarray*} d_1 = k \cdot d_2 \end{eqnarray*}$ schließen, dass die homogenen Gleichungen ebenfalls proportional sind (mit dem Faktor k)?

Wer sagt denn sowas? Die Bedingung

Zitat:

Original von mathe987
Sind die inhomogenen Gleichungen proportional

sagt erheblich mehr als nur $\begin{eqnarray*} d_1 = k \cdot d_2 \end{eqnarray*}$ (was so allein geschrieben übrigens fast gar nichts bedeutet).

12.06.2015, 12:32

mathe987

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Danke Hal für deine Antwort!

Wenn man die Gleichung als Ebene interpretiert, wäre das d ja quasi $\begin{eqnarray*} P \cdot \vec{n} \end{eqnarray*}$ (Normalvektorform ausmultiplizieren), und die Koeffizienten auf der homogenen Seite sind ja ebenfalls die Koordinaten des Normalvektors.

Ich werde da irgendwie nicht schlau daraus, auch wenn ich genau weiß, dass der Normalvektor da eine entscheidene Rolle spielt :/

12.06.2015, 12:42

HAL 9000

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Also ich würde unter "Proportionalität der inhomogenen Gleichungen" verstehen, dass es eine reelle Zahl $\begin{align*} k \end{align*}$ gibt, für die nicht nur $\begin{align*} d_1=kd_2 \end{align*}$ , sondern zugleich auch $\begin{align*} a_1=ka_2,b_1=kb_2,c_1=kc_2 \end{align*}$ gilt.

12.06.2015, 12:48

mathe987

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Gut, wenn man es so sieht, ist es natürlich logisch. Dann ergibt das Ganze Sinn. Danke dir vielmals!

Schönen Tag noch smile

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