Gleichung vereinfachen

12.06.2015, 14:06

Chloe2015

Gleichung vereinfachen

Problem:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{(2x+4) \cdot (x^2+2x+4) - (x²+4x-8) \cdot (2x+2)}{(x²+2x+4)^2} \end{eqnarray*}$

nach vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-8}{(x+2)^3} \end{eqnarray*}$

gibts irgendeinen Trick wie man das schnell auflösen kann, ich brauch immer viel zu lange und multipliziere immer alles aus.

$\begin{eqnarray*} (x²+2x+4)^2 \end{eqnarray*}$
Kann man das vielleicht mit pascalschen Dreieck auflösen oderso ?
Oder soll ich das einfach in den Taschenrechner eingeben.

Idee:

$\begin{eqnarray*} (2x+4) \cdot (x^2+2x+4) = 2x^3+4x²+4x²+8x+8x+16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2x+4) \cdot (x^2+2x+4) = 2x^3+8x²+16x+16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x²+4x-8) \cdot (2x+2) = 2x^3+8x^2-16x+2x^2+8x-16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x²+4x-8) \cdot (2x+2) = 2x^3+10x^2-8x-16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x²+2x+4)^2 = x^4+2x^3+4x^2+2x^3+4x^2+8x+4x^2+8x+16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x²+2x+4)^2 = x^4+4x^3+12x^2+16x+16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{(2x^3+8x²+16x+16) - (2x^3+10x^2-8x-16)}{(x^4+4x^3+12x^2+16x+16)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-2x²+24x+32}{(x^4+4x^3+12x^2+16x+16)} \end{eqnarray*}$

Irgendwie passt das nicht.

12.06.2015, 14:29

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung vereinfachen
Guten Tag,

wenn Deine Gleichung richtig ist, dann ist die gegebene Musterlösung falsch. Deine Berechnungen sind alle richtig.

12.06.2015, 14:36

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung vereinfachen

Zitat:

Original von Chloe2015
$\begin{eqnarray*} y = \frac{(2x+4) \cdot (x^2+2x+4) - (x²+4x-8) \cdot (2x+2)}{(x²+2x+4)^2} \end{eqnarray*}$

Könnte es sein, daß es eigentlich $\begin{eqnarray*} y = \frac{(2x+4) \cdot (x^2+4x+4) - (x²+4x-8) \cdot (2x+4)}{(x²+4x+4)^2} \end{eqnarray*}$ heißen müßte?

Anders gefragt: dein Term sieht sehr nach Anwendung der Quotientenregel aus. Da wäre es schön, wenn man die Ausgangsfunktion kennen würde. smile

12.06.2015, 14:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Chloe2015
$\begin{eqnarray*} y = \frac{(2x+4) \cdot (x^2+2x+4) - (x²+4x-8) \cdot (2x+2)}{(x²+2x+4)^2} \end{eqnarray*}$

Sieht irgendwie nach Quotientenregel aus. Es wäre mal interessant, den Originalwortlaut der Aufgabe zu erfahren. Irgendwie macht mich nämlich die Diskrepanz $\begin{align*} (x+2)^2 = x^2+4x+4 \end{align*}$ vs. $\begin{align*} x^2+2x+4 \end{align*}$ stutzig...

EDIT: Ups, da hatten zwei denselben Gedanken.

12.06.2015, 15:24

Chloe2015

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habt ihr richtig erkannt.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x²-8}{x+2} \end{eqnarray*}$

gesucht ist y''= ?

Ableitung mit quotientenregel

12.06.2015, 15:50

Chloe2015

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach meiner Rechnung kommt dann raus:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x²-8}{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{x^2+4x-8}{x^2+2x+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \frac{-2x²+24x+32}{(x^4+4x^3+12x^2+16x+16)} \end{eqnarray*}$

12.06.2015, 16:08

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin nicht sicher, ob ich mich einbringen kann, aber es hat den Anschein, dass meine Vorredner nicht online sind.

Daher gebe ich mal meinen Senf dazu:

bei der ersten Ableitung ist ein kleiner Schnitzer beim Vorzeichen und der Nenner stimmt nicht ganz - vermutlich die bin. Formel falsch angewendet; sie lautet korrekt:

$\begin{eqnarray*} y'= \frac {x^2+4x+8} {(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

Bitte bei solchen Aufgabe nicht ausmultiplizieren, denn das macht die Sache unnötig unübersichtlich. Ferner sieht man dann auch nicht mehr, wie man bei richtiger Berechnung der zweiten Ableitung kürzen kann.

12.06.2015, 16:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich lohnt es sich hier, vor der ganzen Differenziererei eine Polynomdivision durchzuführen:

$\begin{align*} f(x) = \frac{(x^2-4)-4}{x+2} = x-2 - \frac{4}{x+2} \end{align*}$

Dann geht das Ableiten schnell, ganz ohne Quotientenregel, nur mit der für Potenzen:

$\begin{align*} f'(x) = 1 + \frac{4}{(x+2)^2} \end{align*}$

$\begin{align*} f''(x) = -\frac{8}{(x+2)^3} \end{align*}$ .

12.06.2015, 16:52

Chloe2015

Auf diesen Beitrag antworten »

oh jetz seh ichs auch,

(x+2)² = x²+4x+4

Ja dann is natürlich alles falsch.......

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x²-8}{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{x^2+4x-8}{x^2+4x+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \frac{-8x-16}{(x+2)^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = \frac{-8(x-2)}{(x+2)^4} \end{eqnarray*}$

wahrscheinlich kann das jetz dann irgendwie kürzen und dann passts.

12.06.2015, 17:15

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast zwar den Fehler des Vorzeichens in der ersten Ableitung noch stehen, aber anscheinend mit dem richtigen Vorzeichen weitergerechnet, denn bis zur vorletzten Zeile stimmt es.

Beim Ausklammern der -8 hast du in der Klammer aber wieder ein Vorzeichenfehler. Wenn du den beseitigst, kannst du kürzen und bist fertig.

12.06.2015, 17:59

Chloe2015

Auf diesen Beitrag antworten »

ajo, ja hab mit

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{x^2+4x+8}{x^2+4x+4} \end{eqnarray*}$

gerechnet.

$\begin{eqnarray*} y'' = \frac{-8(x+2)}{(x+2)^4} = \frac{-8}{(x+2)^3} \end{eqnarray*}$

So nun noch zu der Frage die nicht beantwortet wurde.

Um solche Rechnungen zu lösen brauch ich immer sehr lange, mir is aber aufgefallen das das andere ohne Zwischenschritte sehr schnell lösen.
Gibts da einen Trick um sowas schnell zu lösen ?

$\begin{eqnarray*} (4x³+2x²+x+3) \cdot (2x+3) = \end{eqnarray*}$

Oder muss man da immer ausmultiplizieren, also
$\begin{eqnarray*} 2x \cdot 4x³+ 2x \cdot 2x² + 2x \cdot x + 2x \cdot 3 + ..... \end{eqnarray*}$

12.06.2015, 18:03

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

der Trick besteht darin, es erst gar nicht zu solchen Rechnungen kommen zu lassen.
Entweder spart man sich das Ausmultiplizieren - so wie ich oben bereits vorgeschlagen habe - solange es geht. Denn dann kürzt man vorher und muss nicht so große Terme multiplizieren.

Oder man vereinfacht den Term schon vor dem Ableiten - vgl. HALs Vorschlag.

12.06.2015, 18:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@Chloe2015

Gerade bei höheren Ableitungen von Quotienten besteht immer wieder das Problem der Ableitung von $\begin{align*} \left[ \frac{u}{v^n} \right] \end{align*}$ , d.h. mit einer Potenz im Nenner. Die Quotientenregel ergibt dann zunächst

$\begin{align*} \left[ \frac{u}{v^n} \right]' = \frac{u'v^n-u(v^n)'}{v^{2n}} = \frac{u'v^n-unv^{n-1}v'}{v^{2n}} \end{align*}$

Es ist ungeschickt, jetzt den Zähler "auszumultiplizieren" - besser erstmal den gemeinsamen Faktor $\begin{align*} v^{n-1} \end{align*}$ in Zähler und Nenner kürzen:

$\begin{align*} \ldots = \frac{u'v-nuv'}{v^{n+1}} \end{align*}$ .

Dassselbe erreicht man auch ohne Kürzen mit der Produktregel

$\begin{align*} \left[ uv^{-n} \right]' = u'v^{-n} + u(-n)v^{-n-1}v' = \frac{u'v-nuv'}{v^{n+1}} \end{align*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Gleichung vereinfachen

Verwandte Themen