Partielle Integration

12.06.2015, 23:34	88wol26	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Integration Meine Frage: Hallo, seit einiger Zeit versuche ich rauszufinden warum folgendes gilt. Es seien $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ skalare Funktionen auf einen 3D Gebiet, dann gilt mithilfe der partiellen Integration: $\begin{eqnarray} \int \limits_\Omega (\nabla A)B dxdydz = - \int \limits_\Omega (\nabla B)A dxdydz + \int \limits_{\partial\Omega} n_i AB ds \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für partielle Integration gilt: $\begin{eqnarray} \int uv^\prime dx = uv - \int u^\prime v dx \end{eqnarray}$ . Ich habe versucht $\begin{eqnarray} v^\prime = (\nabla A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u = B \end{eqnarray}$ zu wählen und umgekehrt aber ich komme einfach nicht drauf.
13.06.2015, 02:10	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Integration Das duerfte ja wohl so gemeint sein: $\begin{eqnarray} \int\limits_\Omega\begin{pmatrix}A_xB\\ A_yB\\ A_zB\\ \end{pmatrix}d(x,y,z)=-\int\limits_\Omega\begin{pmatrix}AB_x\\ AB_y\\ AB_z\end{pmatrix}d(x,y,z)+\int\limits_{\partial\Omega}\begin{pmatrix}n_1AB\\ n_2AB\\ n_3AB\end{pmatrix}ds \end{eqnarray}$ Man wuerde es dann auch komponentenweise zeigen. Z.B. ist $\begin{eqnarray} A_xB=-AB_x+(AB)_x \end{eqnarray}$ und das Randintegral kommt vom Gaußschen Integralsatz -- wobei man da aufpassen muss, dass man ihn richtig anwendet!
13.06.2015, 12:41	88wol26	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ok der Integralsatz von Gauß wer der entscheidene Tipp. Also quasi wie folgt: Integralsatz von Gauß (hab ihn unter Divergence Theorem gefunden): $\begin{eqnarray} \int_V \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z dV = \int_\Gamma n_x F_x+ n_y F_y + n_z F_z ds \end{eqnarray}$ . Wende ich den nun Komponentenweise an: $\begin{eqnarray} (1 ) \int_\Omega \partial_x F_x dx = \int_\Gamma n_x F_x ds \end{eqnarray}$ . Nach meiner Überlegung würde ich auf das Ergebnis kommen, wenn $\begin{eqnarray} \int_\Omega F_x dx = \int_\Gamma n_1 F_x ds \end{eqnarray}$ gelten würde. Aber kann ich das einfach aus $\begin{eqnarray} (1) \end{eqnarray}$ folgern?
13.06.2015, 17:55	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Komponenten von Vektoren mit den Indizes x,y,z zu versehen ist ja wohl keine gute Idee, weil man so auch die partiellen Ableitungen nach x,y,z notiert. Zumindest der Aufgabendichter hat auch $\begin{eqnarray} n_1, n_2, n_3 \end{eqnarray}$ fuer die Komponenten des Normalenvektors geschrieben und nicht $\begin{eqnarray} n_x, n_y, n_z \end{eqnarray}$ . Entsprechend wuerde ich es auch mit dem $\begin{eqnarray} \vec{F} \end{eqnarray}$ halten und das noch mal aufschreiben.
13.06.2015, 22:20	88wol26	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja stimmt du hast recht. Hab gar nicht dran gedacht auf die Indizes zu achten. Ich fasse nochmal zusammen. Mit $\begin{eqnarray} A_xB=-AB_x+(AB)_x \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \int_\Omega \begin{pmatrix}A_xB\\ A_yB\\ A_zB\\ \end{pmatrix}d(x,y,z)= -\int\limits_\Omega\begin{pmatrix}AB_x\\ AB_y\\ AB_z\end{pmatrix}d(x,y,z) + \int_\Omega \begin{pmatrix}AB\\ AB\\ AB\end{pmatrix}ds \end{eqnarray}$ . Um nun auf obiges Ergebnis zu kommen, müsste für das letzte Integral folgendes gelten $\begin{eqnarray} (1) \int_\Omega \begin{pmatrix}AB\\ AB\\ AB\end{pmatrix}ds = \int\limits_{\partial\Omega}\begin{pmatrix}n_1AB\\ n_2AB\\ n_3AB\end{pmatrix}ds \end{eqnarray}$ Aber für beide Varianten des Integralsatzes von Gauß, $\begin{eqnarray} \int_V div(F) dV = \oint_S Fn ds \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \int_V (\nabla F) dV = \oint_S F ds \end{eqnarray}$ sehe ich keine Anwendung auf $\begin{eqnarray} (1) \end{eqnarray}$
13.06.2015, 22:43	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest halt den Unterschied zwischen Skalaren und Vektoren, zwischen Skalarprodukt und normalem Produkt, sowie den Unterschied zwischen Gradient und Divergenz beachten. Schreib doch den Gaußschen Integralsatz wenigstens mal richtig auf! Ansonsten hab ich schon gesagt, das die Gleichung fuer jede Komponente einzeln zu zeigen ist und nicht in einem Aufwasch fuer alle drei zusammen. Die erste zu zeigende Gleichung ist: $\begin{eqnarray} \int_\Omega A_xB\, d(x,y,z)=-\int_\Omega AB_x\,d(x,y,z)+\int_\Omega (AB)_x\,d(x,y,z) \end{eqnarray}$ . Und auf das letzte Integral sollst Du jetzt den Gaußschen Integralsatz anwenden.
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14.06.2015, 00:47	88wol26	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja du hast recht ich hab des Skalarprodukt falsch hingeschrieben in dem Gaußschen Integralsatz. Des kommt davon wenn man dauernd zwischen Englischen und Deutschen Büchern hin und herließt -.- Da kommt man dann auf die schnelle immer durcheinander. $\begin{eqnarray} \int_V div(F) dV = \oint_S \langle F ,n \rangle ds \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \int_V (\nabla F) dV = \oint_S F ds \end{eqnarray}$ . Aber mir ist nicht klar wie ich den Gaußschen Integralsatz auf nur eine Komponente anwenden soll? Ich finde nur Definitionen aus denen ein Volumenintegral zu einem Flächenintegral wird. Oder Moment mir ist noch was eingefallen, geht es wenn ich mir einen Vektor als $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} (AB)_x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann kann ich den Integralsatz anwenden und bin auch im Dreidimensionalen?
14.06.2015, 02:07	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich empfehle weiterhin, Vektoren notationell von Skalaren zu trennen und Skalarprodukte kenntlich zu machen: $\begin{eqnarray} \int_\Omega \mathop{\mathrm{div}}\vec{F}\,dV=\oint_{\partial\Omega}\vec{F}\cdot\vec{n}\,do \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} \int_\Omega\nabla\cdot\vec{F}\,dV=\oint_{\partial\Omega}\vec{F}\cdot d\vec{o} \end{eqnarray}$ . Das $\begin{eqnarray} ds \end{eqnarray}$ aus der Aufgabe ist auch eher doof, wir sind ja hier in 3D. Ausserdem wuerde man in 2D unter $\begin{eqnarray} d\vec{s} \end{eqnarray}$ ein vektorielles Bogenelement verstehen und nichts, was da drauf senkrecht steht. Ansonsten ist Deine Idee goldrichtig: Setze $\begin{eqnarray} \vec{F}=(AB,0,0)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{n}=(n_1,n_2,n_3)^T \end{eqnarray}$ , und alles laeuft wie geschmiert.

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