Integral über Geometrischer Reihe

13.06.2015, 11:06	Pompadur	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über Geometrischer Reihe Hallo ihr Ich sitze gerade an einem Beweis für $\begin{eqnarray} \zeta(2)=\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray}$ aus "Das BUCH der Beweise". Die Idee ist das Integral $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xy} dx dy \end{eqnarray}$ auf zwei verschiedene Arten auszuwerten. Um jetzt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xy} dx dy = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ ist, macht der Beweis jetzt folgenden Schritt: $\begin{eqnarray} <br /> \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xy} dx dy = \int_0^1 \int_0^1 \sum_{k \geq 0} (xy)^k dx dy \overset{}{=} \sum_{k \geq 0} \int_0^1 \int_0^1 (xy)^k dxdy<br /> \end{eqnarray}$ Den Schritt mit verstehe ich nicht! Ich dachte man kann die Reihe nur "rausziehen", wenn sie auf (0,1) gleichmäßig Konvergiert!? Und genau das ist doch bei der geometrischen Reihe nicht der Fall oder? (vgl. http://me-lrt.de/7-gleichmassig-konverge...metrische-reihe ) Gibt es da jetzt ein anderes Argument oder übersehe ich etwas? Danke für eure Hilfe!
13.06.2015, 11:35	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zum einen gäbe es da den Satz von der monotonen Konvergenz aus der Lebesgue'schen Integrationstheorie, den du verwenden könntest. Dieser erlaubt das Vertauschen in dieser Situation. Wenn du möchtest, kann ich dir das gerne näher erklären. Andererseits kann man es auch mit der Riemann'schen Integrationstheorie sehen, vielleicht ist dieser Weg geeigneter. Man muss sich zuerst fragen, was $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^1 \sum_{k \geq 0} (xy)^k dx dy \end{eqnarray}$ genau ist. Als gewöhnliches Riemann-Integral kann man es nicht auffassen, weil der Integrand unbeschränkt ist. Das ist also zunächst mal ein uneigentliches Riemann-Integral $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(y) dy \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f(y) = \int_0^1\sum_{k\geq 0}(xy)^k dx \end{eqnarray}$ . Eigentlich steht dort also der Ausdruck $\begin{eqnarray} \lim_{s\to 1}\int_0^s f(y)dy \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} y<1 \end{eqnarray}$ kann man in $\begin{eqnarray} f(y) \end{eqnarray}$ aber das Integral mit der Summe vertauschen, weil die geometrische Reihe auf $\begin{eqnarray} [0,y] \end{eqnarray}$ gleichmäßig konvergiert. Wir bekommen also für $\begin{eqnarray} y<1 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} f(y) = \sum_{k\geq 0}\int_0^1(xy)^k dx \end{eqnarray}$ . Das kannst du jetzt auswerten und bekommst eine leicht modifizierte geometrische Reihe in $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ . Diese integrierst du aber zunächst nur von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} s<1 \end{eqnarray}$ und betrachtest danach erst den Limes für $\begin{eqnarray} s\to 1 \end{eqnarray}$ . Auf $\begin{eqnarray} [0,s] \end{eqnarray}$ hast du aber wieder gleichmäßige Konvergenz und kannst folglich Integral und Summe vertauschen.
13.06.2015, 12:05	Pompadur	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Vielen Dank für Deine Hilfe! Bei dem Riemann'schen Ansatz hast Du mir eine ganz schöne Nuss gegeben. Da muss ich mich noch etwas reindenken, bis ich den voll verstanden habe, aber das Prinzip ist mir klar Der Satz von der monotonen Konvergenz ist der Satz von Beppo Levi oder? Um ihn anwenden zu können, reicht es da zu sagen, dass die $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ messbar (weil stetig), isoton und größer 0 sind und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ebenfalls messbar ist? (Integrationstheorie ist noch sehr neu für mich).
13.06.2015, 12:08	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob deine Argumentation richtig ist, hängt hier stark davon ab, was gerade für dich $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ sein soll. Da gibt es gerade zwei sehr plausible Möglichkeiten. Bei der einen stimmt es so. Und ja, monotone Konvergenz = Beppo Levi.
13.06.2015, 12:24	Pompadur	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hätte jetzt gesagt, dass: $\begin{eqnarray} f_n = \sum_{k=0}^{n} (xy)^k \end{eqnarray}$ ist und damit $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^1 \lim\limits_{n \to \infty} f_n dxdy = \int_0^1 \left( \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 f_n dx \right) dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ ist eine endliche Reihe, d.h. ich kann gliedweise integrieren. Es folgt: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \left( \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 f_n dx \right) dy = \int_0^1 \sum_{k=0}^{\infty} \left( \int_0^1 (xy)^k dx \right) dy \end{eqnarray}$ Und das Gleiche nochmal um die Reihe auch vor das zweite Integral zu ziehen. Ergibt das so Sinn?
13.06.2015, 12:44	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist bei deiner Begründung nicht die richtige Wahl der $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ . Ich würde die $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ auch so definieren, aber dann reicht es nicht, dass sie alle größer/gleich 0 sind. Du musst dazusagen, dass die $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ eine monotone Folge sind (oder meintest du das mit 'isoton'? ~~Das wäre nicht der richtige Terminus~~). Du müsstest in dem Fall, wenn $\begin{eqnarray} f_n(x,y) = \sum_{k=0}^{n} (xy)^k \end{eqnarray}$ die Summe auch gleich an beiden Integralen auf einmal vorbeiziehen (was ja sowieso einfacher ist). Denn Beppo Levi besagt in diesem Fall eigentlich $\begin{eqnarray} \int_{[0,1]^2}\lim_{n\to\infty}f_n(x,y) d(x,y) = \lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]^2}f_n(x,y)d(x,y) \end{eqnarray}$ . Man kann natürliches auch das partielle Vertauschen rechtfertigen. Das ist dann aber noch ein zusätzlicher Satz, den man dazu schreiben muss, der eigentlich unnötig ist.
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13.06.2015, 13:15	Pompadur	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in meinem Vorlesungsscript steht, dass eine isotone Funktionenfolge eine monoton steigende Funktionenfolge ist... Tut mir leid, wenn das nicht dem gängigen Terminus entspricht
13.06.2015, 13:27	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du hast Recht. Es gibt diesen Begriff tatsächlich. Ich habe ihn in diesem Zusammenhang noch nie vorher gehört, tut mir Leid.

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