Zylindervolumen über Kugelkoordinaten ermitteln

13.06.2015, 12:22	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zylindervolumen über Kugelkoordinaten ermitteln Meine Frage: Hallo, ich soll das Volumen des Körpers, der vom Kegelmantel $\begin{eqnarray} z^2 = x^2 + y^2 \end{eqnarray}$ und den Ebenen $\begin{eqnarray} z = a \,\,\, und \,\,\, z = 2a \end{eqnarray}$ begrenzt wird durch Integration mittels Kugelkoordinaten berechnen. Meine Ideen: Ich weiß, dass ich ein Dreifachintegral über das Volumenelement $\begin{eqnarray} dV = r^2 sin(\theta) dr d\theta d\phi \end{eqnarray}$ ermitteln muss. Ich weiß nur nicht, welche Funktion $\begin{eqnarray} f(r, \theta , \phi) \end{eqnarray}$ ich integrieren soll. Ich habe es mit der Funktion $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray}$ ausprobiert. Da erhalte ich jedoch das Volumen $\begin{eqnarray} \frac{a^4 \cdot \pi^2}{4} \end{eqnarray}$ , was so nicht stimmen kann! Außerdem sind mir die Integrationsgrenzen für den Parameter r unklar. Ich weiß, dass dies eine äußerst aufwändige Rechnung sein soll! Viele Grüße Widderchen
13.06.2015, 19:35	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, stimmt die Rechnung soweit oder ist der von mir gedachte Ansatz doch fehlerhaft?? Widderchen
13.06.2015, 21:58	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
na ja, einen Kegelstumpf mittels Kugelkoordinaten zu berechnen ist doch wider den Geist der Mathematik. Zylinderkoordinaten wären hier doch passend ! oder ? Nun, da das Volumenelement dV bekannt ist ergibt sich, dass die gesuchte Funktion identisch 1 ist. $\begin{eqnarray} V=\int_V \, 1 \, \dd V \end{eqnarray}$ ist doch trivial. Das Problem ist nun, in einem Dreifachintegral die Grenzen zu bestimmen. Der Bereich für den Horizontalwinkel ist mit 0 bis 2 pi ja noch einfach. Für den Radius und den Vertikalwinkel wird es aber schwierig. Ist die Situation soweit verständlich ?
13.06.2015, 23:05	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Die Rechnung via Zylinderkoordinaten hatte ich bereits in einer anderen Teilaufgabe erledigt. Hier hatte ich auch die 1-Funktion integriert. Dennoch soll ich dieselbe Rechnung mittels Kugelkoordinaten durchführen, um die Unabhängigkeit der Wahl des Korrdinatensystems für die Volumenberechnung nachzuweisen. Doch unter Verwendung von Kugelkoordinaten kann ich nicht die 1-Funktion wählen, da ich hiermit das Volumen der zugehörigen Kugel berechnen würde. Wie lautet also die zu integrierende Funktion $\begin{eqnarray} f(r, \theta , \phi) \end{eqnarray}$ bzw. die zugehörigen Integrationsgrenzen, wenn ich über Kugelkoordinaten integriere?? Viele Grüße Widderchen
14.06.2015, 00:30	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich vereinfache mal: wir berechnen den Kegel. Der seitliche Schnitt liefert ein Dreieck. Wenn nun der Höhenwinkel von 0 bis pi/2 variert gibt eine Funktion $\begin{eqnarray} r(\theta) \end{eqnarray}$ die den "Abstand" von (0,0,0) aus gesehen zur Seitenlinie angibt. Wenn ich nun ansetze : $\begin{eqnarray} V=\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} \int_{r=0}^{r=r(\theta)} 1 \, r^2 \dd r \sin(\theta) \dd \theta \dd \varphi \end{eqnarray}$ und das innerste Integral bestimmt wird = $\begin{eqnarray} \tfrac 13 r(\theta)^3 \end{eqnarray}$ entsteht doch eine Funktion im Integranden. $\begin{eqnarray} V=\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}\, \tfrac 13 r(\theta)^3 \sin(\theta) \dd \theta \dd \varphi \end{eqnarray}$ aber jetzt ist es nur noch ein Doppelintegral. Mehr fällt mir jetzt aber nicht mehr dazu ein. -------------------------------------------------------------------- edit: das wird so nicht gehen, da mir gerade auffällt, dass der Kegel ja auf dem Kopf steht. Sorry !
14.06.2015, 12:55	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst vielen Dank für deine Hilfe, Dopap! Aber ich verstehe nicht, warum wir einen Kegel betrachten? Es muss das Volumen eines Zylinders bestimmt werden, oder irre ich mich komplett? &#55357;&#56862; Viele Grüße Widderchen Ah, ich verstehe jetzt, das liegt an dem z in der Kegelmantelgleichung!
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14.06.2015, 14:13	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig! Bem : stellt man den Kegel auf die Grundfläche, dann könnte mein voriger Beitrag eine Möglichkeit zur Volumenberechnung sein. Mit h1=a und h2=2a aber nicht mehr.
14.06.2015, 15:00	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute dass diese Funktion eine Art Wurzelfunktion in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ darstellen wird, da man r doch über den Satz des Pythagoras darstellen kann??? Oder gegebenenfalls über irgendwelche trigonometrischen Funktionen? Ich verzweifle schon tagelang an dieser Aufgabe! Widderchen

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