uneigentliches Integral sin x /x

13.06.2015, 17:30

MatheStu1994

uneigentliches Integral sin x /x

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! \,\sin(x)/x dx \end{eqnarray*}$
Die frage ist, ob dieses uneigentliche Integral

Meine Ideen:
[attach]38390[/attach]

nun wei0 ich nicht weiter was ich machen kann oder darf um das abzuschätzen

Edit (mY+): Doppelt hochgeladene Grafik entfernt.

13.06.2015, 19:33

Widderchen

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Hallo,

sagen dir vielleicht das Abelsche oder Dirichlet-Kriterium für bedingte Konvergenz etwas?? Dieses Integral konvergiert nämlich bedingt gegen den Wert $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ . Man kann durch eine Abschätzung nach unten zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty } \! \frac{| \sin(x) |}{x} \, dx = + \infty \end{eqnarray*}$ . Dies zeigt die bedingte Konvergenz diese Integrals auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [1, \infty ) \end{eqnarray*}$ .

Zudem ist die Funktion auf dem Einheitsintervall integrierbar, da sin(x)/x für x -> 0 gegen den Wert 1 konvergiert.

Siehe dir dazu auch die Seiten 55 und 56 auf dem folgenden Link an:

https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/a2lect.pdf

Viele Grüße
Widderchen

13.06.2015, 23:12

Mulder

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RE: uneigentliches Integral sin x /x
Also auf das Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_1^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, \dx \end{eqnarray*}$ kann man auch einfach partielle Integration anwenden. Wähle hierbei $\begin{eqnarray*} u= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'=\sin(x) \end{eqnarray*}$ . Das "neue" Integral, das man erhält, lässt sich dann deutlich leichter abschätzen und auf Konvergenz überprüfen. Den ganzen Quark mit der Aufteilung in eine Summe von Integrationsintervallen kann man sich komplett schenken.

Zitat:

Original von Widderchen
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty } \! \frac{| \sin(x) |}{x} \, dx = + \infty \end{eqnarray*}$ . Dies zeigt die bedingte Konvergenz diese Integrals auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [1, \infty ) \end{eqnarray*}$

Weil ... ?

14.06.2015, 20:38

MatheStu1994

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Gut das hab ich ja quasi gemacht, aber ich weiß nicht, kann ich den cos im zweiten integral gegen 1 abschätzen? unglücklich

14.06.2015, 20:56

Mulder

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Ich kann das Gekrakel wirklich nicht lesen, ehrlich gesagt. Aber es ist $\begin{eqnarray*} | \cos(x)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Vielleicht hilft das. Sollte es eigentlich.

14.06.2015, 22:14

MatheStu1994

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dann würde ich für n gegen unendlich = 0 rausbekommen, also wäre es beschränkt.

Folgt dann sofort es existiert auch?

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