Differentialgleichungen Anfangswertproblem

13.06.2015, 18:05	Daniel Christoph	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen Anfangswertproblem Meine Frage: Hallo, habe da ein Problem mit folgender Aufgabe: (Unser Professor hat sie folgendermaßen formuliert) Lösen Sie folgende Anfangs- bzw Randwertprobleme: $\begin{eqnarray} y' = \frac{6ty}{t^{2}+1}, y(0) = 4 \end{eqnarray}$ 1. Frage: Ist es ein Anfangs- oder Randwertproblem? (Den Unterschied habe ich nicht ganz verstanden) 2. Frage: Welches Verfahren wende ich hier an, um die Differentialgleichung zu lösen? Meine Ideen: Mein erster Ansatz war, das ich die Gleichung so umforme, das ich das Verfahren "Trennung der Variablen" anwenden kann. Leider kam ich zu keinem Ergebnis. Ebenso das Substitutionsverfahren hat mir nicht weitergeholfen.
13.06.2015, 18:08	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen Anfangswertproblem Du kannst die Variablen trennen. Ein Anfangswertproblem gibt Werte für (f, f' ... )nur an einer Stelle vor, ein Randwertproblem an verschiedenen Stellen. Wenn du nur eine Bedingung hast, sehr ich da keinen Unterschied!
13.06.2015, 18:13	Daniel Ch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen Anfangswertproblem Wenn ich das richtig verstanden, muss die DGL dafür "separabel" sein, richtig? Das wäre dann ja die Form: $\begin{eqnarray} y' = f(x)g(y) \end{eqnarray}$ (in diesem Fall f(t)) Aber egal wie ich es drehe, ich komme nicht auf diese Form.
13.06.2015, 18:18	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen Anfangswertproblem 'separabel' ist richtig dy/dt = 6t/(t^2+1) y ########\ dt \ : y 1/y * dy = 6t /(t^2+1) * dt Auf beiden Seiten integrieren, Integrationskonstante mit der Anfangsbedingung bestimmen, fertig.
13.06.2015, 18:36	Daniel Chr	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen Anfangswertproblem Vielen Dank! Allerdings habe ich den letzten Schritt noch nicht verstanden. Ich habe jetzt folgendes raus: $\begin{eqnarray} <br /> y' = \frac{6t}{t^{2}+1} y \\<br /> \frac{dy}{y} = \frac{6t}{t^{2}+1}dt \\<br /> \int \frac{dy}{y} = \int \frac{6t}{t^{2}+1}dt \\<br /> ln \|y\| = 3 ln \|t^2+1\| \\<br /> y = c(t^2+1)^3<br /> \end{eqnarray}$ Ich würde jetzt ganz stumpf t = 0, y = 4 setzen, daraus folgt das c = 4 ist. Sehe ich das richtig? Und wäre ich damit fertig?
13.06.2015, 18:51	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen Anfangswertproblem Sehe ich völlig 'unstumpf' auch so :-) EDIT: allerdings steht hinter deiner zweitletzten Zeile ein c1, das sich in ein e^c1 aus IR+ umwandelt und dann nach Auflösung des Betrags bei /y/ zu c aus IR\{0} wird. Betrachtet man dann noch den Sonderfall y=0 (ausgenommen oben bei der Division durch 0), ergibt sich, dass c aus IR zulässig ist.
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