Anwendung des Projektionssatzes

13.06.2015, 21:49	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung des Projektionssatzes Guten Abend, ich habe folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} X \in \mathcal L^2(\Omega,\mathcal{F}, P) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal A \subseteq \mathcal F \end{eqnarray}$ eine Teilsigmaalgebra. Bestimmen Sie das Minimum des Funktionals $\begin{eqnarray} \psi(Z) := E((Z-X)^2) \end{eqnarray}$ über der Menge aller $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ -messbaren Funktionen. Ich habe bereits gezeigt, dass die Menge der $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ -messbaren, quadratisch integrierbaren Funktionen (ich bezeichne diese Menge mit $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ) ein abgeschlossener Teilraum des $\begin{eqnarray} \mathcal L^2 \end{eqnarray}$ ist. Mit dem Projektionssatz wird das Infimum des Funktionals also bei einer Funktion $\begin{eqnarray} Z \in K \end{eqnarray}$ angenommen, für die weiters gilt: $\begin{eqnarray} \forall h \in K: \langle X-Z, h \rangle = 0 \end{eqnarray}$ Irgendwie sehe ich nicht, wie ich nun das Minimum bestimmen kann. Für Hinweise wäre ich sehr dankbar. Freundliche Grüße daLoisl
14.06.2015, 18:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
bedingte Erwartung Über die Zerlegung $\begin{align} (Z-X)^2 = ((Z-E(X \mid \mathcal{A}) + (E(X \mid \mathcal{A})-X))^2 \end{align}$ folgt $\begin{align} E((Z-X)^2) = E((Z-E(X \mid \mathcal{A}))^2) + E((E(X \mid \mathcal{A})-X)^2) \end{align}$ , und da $\begin{align} E(X \mid \mathcal{A}) \end{align}$ von Haus aus $\begin{align} \mathcal{A} \end{align}$ -messbar ist, dürfte das Minimum und auch eine Minimumstelle klar sein. Oder kurz gesagt: Deine Projektion ist die bedingte Erwartung $\begin{align} E(X \mid \mathcal{A}) \end{align}$ .
14.06.2015, 19:14	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Aber $\begin{eqnarray} E((E(X\|\mathcal A)-X)^2) \end{eqnarray}$ lässt sich nicht mehr vereinfachen, oder? Denn ich habe bereits bei einer anderen Aufgabe gezeigt, dass die Projektion einer quadratisch integrierbaren Funktion der bedingte Erwartungswert ist. Wenn ich das jetzt so hinschreibe, habe ich also praktisch gar nichts getan
15.06.2015, 07:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinfachen nicht direkt, aber es ist $\begin{align} E((E(X \mid \mathcal{A})-X)^2) = E(E((E(X \mid \mathcal{A})-X)^2 \mid \mathcal{A} )) = E(V(X \mid \mathcal{A})) \end{align}$ d.h., der Erwartungswert der bedingten Varianz.

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