stetigkeit beweis

13.06.2015, 23:12	Row	Auf diesen Beitrag antworten »
stetigkeit beweis Hallo Forum, leider habe ich immer noch Schwierigkeiten mit der Stetigkeit. [attach]38398[/attach] Mein Selbstversuch: $\begin{eqnarray} \left \| f(x,y) \right \| \leq \left \| \frac{xy}{\sqrt(x)+y^2} \right \|\leq \left \| \frac{xy}{\sqrt(x)+\sqrt(y)} \right\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sqrt(x)+\sqrt(y)>\sqrt(x+y) \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \left \| \frac{xy}{\sqrt(x)+\sqrt(y)} \right\| \leq\left \| \frac{xy}{\sqrt(x+y)} \right\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sqrt(x+y) \geq 2\sqrt(x)\sqrt(y) \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \left \| \frac{xy}{\sqrt(x+y)} \right\| \leq \left \| \frac{xy}{(xy)^{\frac{1}{4}}} \right\|=(xy)^{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$ und da es gegen x,y gegen 0 "gehen" folgt insgesamt 0 Wäre jemand bereit das Korrektur zulesen?
13.06.2015, 23:37	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetigkeit beweis Deine Ungleichung in der ersten Zeile stimmt nicht. Setze zum Beispiel x = 4 und y = 1/4 ein ! Prüfe mal, ob der Grenzwert von f(x,y) für (x,y) -> (0/0) existiert. Benutze die Nullfoigen (Xn,Yn) = (1/n^2, 1/n) und (Xn,Yn) = (1/n^2, -1/n ) Beide konvergieren für n-> unendlich gegen (0,0), aber die Funktionswertfolgen ( f(Xn,Yn)) ..... ? [COLOR=red]EDIT: Die Folgen konvergieren auch gegen (0/0), was für spezielle Folgen nichts beweist sondern die Stetigkeit nur vermuten lässt! Habe mich geirrt!
14.06.2015, 12:24	MathGod	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{x}+y^2\ge\sqrt{x} \implies \frac{1}{\sqrt{x}+y^2}\le \frac{1}{\sqrt{x}}\implies \frac{xy}{\sqrt{x}+y^2}\le \sqrt{x}y \to 0 \end{eqnarray}$ Anmerkung: Es handelt sich hier um den Threadersteller. Bitte bleibe innerhalb eines Threads beim selben Namen um Verwirrung zu vermeiden. (Guppi12)
14.06.2015, 12:57	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Umformung ist nicht richtig, wenn y negativ ist. (Habe aber im Moment auch keine Idee!)
14.06.2015, 13:11	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe es ist ok, wenn ich in diesem Fall einen kurzen Tipp gebe. Der Ansatz zwei Beiträge über diesem lässt sich retten, indem man zunächst den Bruch durch seinen Betrag nach oben abschätzt. Man muss sowieso den Betrag betrachten, um die Stetigkeit zu zeigen im übrigen. (Beachte außerdem, dass da überall ein Betrag in der Wurzel steht, sonst macht es wenig Sinn.)
14.06.2015, 13:40	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{x}+y^2\ge\sqrt{x} \implies \frac{1}{\sqrt{x}+y^2}\le \frac{1}{\sqrt{x}}\implies \frac{x /y/}{\sqrt{x}+y^2}\le \sqrt{x}/y/ \to 0 \end{eqnarray}$ /f(x,y)/ -> 0, also f(x,y) -> 0 wenn (x,y) -> (0,0) Edit: @Gruppi12: Danke
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