Injektiv, Surjektiv

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SHartma Auf diesen Beitrag antworten »
Injektiv, Surjektiv
Meine Frage:
Hallo Leute,
kleine Frage. Ich habe hier eine Aufgabe (1. Semester LA) :
f:R3->R3
f(1,0,0)=(1,-1,2) , f(0,1,0)=(-1,2,-1) , f(0,0,1)=(0,2,"T")

für welche T ist die Abildung surjektiv, für welche injektiv (T ist in R)

So nun müsste ich ja für Injektivität zeigen: f(x)=f(y)-->x=y

Soweit hab ich noch alles verstanden, allerdings bin ich gerade überfragt wie ich jetzt aus den 3 f da oben, jetzt ne Funktionsvorschrift mache, oder wie das Ganze funktioniert wenn ich da nicht sowas stehen habe wie f(x)=2x^2+7 oÄ

Meine Ideen:
habs jetzt mal addiert alles , dann steht da f(1,1,1) = (0,3,t) aber hilft mir auch nicht wirklich weiter ...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektiv, Surjektiv
Durch die Bilder einer Basis ist eine solche lineare Abbildung ja bereits eindeutig bestimmt. Und die drei hier gegebenen Vektoren, deren Bilder bekannt sind (ausgenommen dem Parameter T), bilden ja eine Basis des R³.

Injektiv ist eine lineare Abbildung F:V->W genau dann, wenn die Bilder einer Basis von V linear unabhängig in W sind. Und surjektiv genau dann, wenn die Bilder einer Basis von V ein Erzeugendensystem von W bilden.

Da du es hier mit einem Endomorphismus zu tun hast, also V=W=R³, vereinfacht sich das Ganze. In dieser Situation sind "F ist surjektiv", "F ist injektiv" und "F ist bijektiv" äquivalente Aussagen.

Du musst also nur schauen, für welche T die drei Bildvektoren eine Basis des R³ bilden und hast damit alles in einem Rutsch erledigt. Überleg dir, warum das so ist. (Welche Dimension hat der R³ denn?) Wie du dabei vorgehst, ist dir im Grunde überlassen. Du kannst abhängig von T auf lineare Unabhängigkeit prüfen, oder für welche T sie den R³ erzeugen.
SHartma Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal
Danke für die nette Antwort.
Habe jetzt einfach mal die lineare Unabhängigkeit der Bilder geprüft, und rausgefunden das diese unabhängig sind, solange T!=2

Was ich nicht verstehe ist wie du von R3-->R3 auf injektiv = surjektiv = bijektiv kommst ? Dachte dafür gäbe es nochmal den extra Automorphismus ?
Hab auch eben mal google etwas bemüht und nichts dergleichen gefunden?
Gibts da nen Trick, den ich nicht gefunden habe ?

Und irgendwie bin ich immernoch verwirrt weil ich keine Abbildungsvorschrift habe, wie würde man denn hier den Kern bestimmen ?
Der Kern sind doch alle Vektoren die unter f auf 0 abgebildet werden, nur weiß ich doch gar nicht wie f abbildet ? Dh, f(1,2,3) (mal aus der Luft gegriffen) könnte doch auch auf 0 abgebildet werden ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektiv, Surjektiv
Dein Ergebnis ist richtig.

Zitat:
Original von SHartma
Was ich nicht verstehe ist wie du von R3-->R3 auf injektiv = surjektiv = bijektiv kommst ? Dachte dafür gäbe es nochmal den extra Automorphismus ?

Wie gesagt, das gilt nicht immer. Aber wenn bei einer linearen Abbildung F:V->W gilt, dass dim(V)=dim(W) ist (das ist hier der Fall, weil eben beides der R³ ist), dann sind injektiv, surjektiv und bijektiv schon äquivalent. Lässt sich sehr leicht zeigen mit dem Dimensionssatz .

Zitat:
Original von SHartma
Und irgendwie bin ich immernoch verwirrt weil ich keine Abbildungsvorschrift habe, wie würde man denn hier den Kern bestimmen ?
Der Kern sind doch alle Vektoren die unter f auf 0 abgebildet werden, nur weiß ich doch gar nicht wie f abbildet ? Dh, f(1,2,3) (mal aus der Luft gegriffen) könnte doch auch auf 0 abgebildet werden ?

Wie ich schon sagte: Durch die Bilder einer Basis ist diese Abbildung bereits vollständig festgelegt. Eine Abbildungsvorschrift kann man natürlich suchen, wenn man das möchte. Sieht die Aufgabe nicht vor, ist aber nicht weiter schwierig. Du weißt:



Und du willst jetzt wissen, was macht ganz allgemein mit einem beliebigen Vektor. Also wie sieht aus? Dazu schreibst du dir den Vektor einfach als Linearkombination der Basisvektoren, dessen Bilder du bereits kennst. In diesem Fall:



Auf beiden Seiten steht das gleiche. Deine Abbildung F ist linear, also additiv und homogen. Das kannst du benutzen. Wende auf beiden Seiten der Gleichung die Abbildung F an und du erhälst:



Also


In der dir offenbar besser vertrauten Schreibweise einer linearen Abbildung ist deine Abbildung also einfach



Kern bestimmen usw. ist jetzt natürlich auch kein Problem mehr. Wobei der Kern ja sowieso nur aus der 0 besteht, wenn F injektiv ist. Interessant wäre höchstens noch der Fall T=2, wenn man sich für den Kern interessiert.

Wie gesagt, das konnten wir jetzt nur herausfinden, weil du eben die Bilder einer Basis bereits kanntest. Wären die drei Vektoren, deren Bilder hier angegeben sind, keine Basis, wäre das nicht möglich gewesen. Das ist natürlich kein Zufall, die Aufgabe wurde natürlich so konstruiert. Augenzwinkern
SHartma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektiv, Surjektiv
Hey super Dankeschön

Ich häng hier seit fast 3 Stunden an dieser blöden Aufgabe. Hab wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen Big Laugh

Ist ja doch viel simpler als gedacht. Hammer
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