Komplexe Zahlen, Wurzelziehen

14.06.2015, 16:36

Chloe2015

Komplexe Zahlen, Wurzelziehen

Problem:
Ich muss den Stoff von Komplexrechnung wiederholen, hab nun einpaar Fragen weil ich die Aufgabenstellung nicht verstehe:

1.) Geben Sie die komplexe Zahl z=(1;150°) in den übrigen drei Darstellungen an, und veranschaulichen Sie die Zahl in der GAUSS’schen Zahlenebene!

2.) Lösen Sie die Gleichung z³ = -3 + 4j und geben Sie die Lösungen in Polardarstellung und in der kartesischen Binomialform an!

3.) Geben Sie mithilfe des Wurzelsatzes alle dritten Wurzeln von z = 3-2j an!

Idee:

1.)
z=(1;150°)

bedeutet das l z l = 1 und phi = 150° ?
$\begin{eqnarray*} z = 1 \cdot e^{j150} \end{eqnarray*}$
Meine Trigonometriekenntnisse verlassen mich nun auch, aber ich würde dann
$\begin{eqnarray*} sin(150) \cdot 1 \end{eqnarray*}$
rechnen und bekomme dann die Ankathete = Realteil, und dann kann ichs in Komponentenform schreiben. Versorform hab ich sowieso schon aus der Angabe.

2.) weiß nicht was ich machen soll und was ist die kartesische Binomialform.

3.) Wie funktioniert der Wurzelsatz ?

14.06.2015, 18:59

mYthos

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1)
150° solltest du bei der Polardarstellung in rad umwandeln (Bogenmaß)
Und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \cos \varphi = \frac a r ; \ \sin \varphi = \frac b r \end{eqnarray*}$

2) a + bj ist die kartesische Binomialform

3)
Komplexe Zahl in Polarform, aus dem Betrag die 3. Wurzel ziehen, den Winkel dreiteilen.
Die drei Lösungen ergeben sich dann durch Addition von $\begin{eqnarray*} n \cdot \frac{2 \pi} 3, \ n = 0, 1, 2 \end{eqnarray*}$

Oder den Satz von Moivre anwenden, dieser gilt auch für gebrochene Exponenten.

mY+

15.06.2015, 15:55

Chloe2015

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1.)

$\begin{eqnarray*} z=(1;150°) \end{eqnarray*}$

Imaginärteil = $\begin{eqnarray*} sin(150°) \cdot 1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Realteil = $\begin{eqnarray*} cos(150°) \cdot 1 = -0,866 \end{eqnarray*}$

Probe:
$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{0,866²+1/4} = 1 \end{eqnarray*}$

Komponentenform:
$\begin{eqnarray*} z= -0,866+1/2j \end{eqnarray*}$

Trigonometrischeform:
$\begin{eqnarray*} z= 1 \cdot (cos(150°) + j \cdot sin(150°) \end{eqnarray*}$

Exponentialform:
$\begin{eqnarray*} z = 1 \cdot e^{j150} \end{eqnarray*}$
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_

2.)

$\begin{eqnarray*} z^3 = -3+4j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r= \sqrt[3]{r^3} = \sqrt[3]{3^2+4^2} = 1,71 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi = \frac{1}{3} \cdot arctan(\frac{4}{-3}) = -17,69° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = 1,71 \cdot ( cos(-17,69°)+j \cdot sin(-17,69°)) \end{eqnarray*}$

Binomialform = Komponentenform:
$\begin{eqnarray*} z = 1,63 - 0,52j \end{eqnarray*}$

Polarformen:
Trigonometrischeform:
$\begin{eqnarray*} z = 1,71 \cdot ( cos(-17,69°)+j \cdot sin(-17,69°)) \end{eqnarray*}$

Exponentialform:
$\begin{eqnarray*} z = 1,71 \cdot e^{-j17,69} \end{eqnarray*}$

Versorform:
$\begin{eqnarray*} z = 1,71;-17,69° \end{eqnarray*}$

Hier stand eig, auch bei der Aufgabe, Lösen sie die Gleichung in $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ .
Was bedeutet das ?

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3.)

$\begin{eqnarray*} z = 3-2j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{3²+2²} = 3,60 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi = arctan(\frac{-2}{3})=-33,69° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{r} \cdot (cos(\frac{\phi+2k\pi }{3} )+jsin( \frac{\phi+2k\pi}{3} )) \end{eqnarray*}$

k = 0
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z} = 1,5-0,3j \end{eqnarray*}$

k = 1
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z} =1,51-0,24j \end{eqnarray*}$

k = 2
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z} =1,52-0,19j \end{eqnarray*}$

Versteh nicht warum ich 3 Lösungen bekomme ?, und was dieses "k" ist.
Und was bringen mir die 3 Lösungen.

15.06.2015, 16:37

Steffen Bühler

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Ich helf mal aus, Mythos ist nicht da.

Zu 1:
Die Werte stimmen. Wenn Du nicht wie empfohlen in rad umrechnen willst, musst Du allerdings auch bei der Exponentialform das Gradzeichen hinschreiben.

Außerdem war noch eine zeichnerische Darstellung in der Gaußschen Ebene verlangt, das dürfte aber nicht schwer sein, oder?

Zu 2:
Das Ergebnis stimmt, auch wenn die Herleitung für den Radius 1,71 schlimm aussieht. Die müsstest Du noch korrigieren.

Dass Du die Lösungen in $\begin{align*} \mathbb C \end{align*}$ angeben sollst, heißt nur, dass Du alle komplexen Lösungen angeben sollst. Die erste hast Du, es gibt aber (wie bei der nächsten Aufgabe auch) drei, wenn die dritte Wurzel gezogen wird. Die zwei anderen findest Du, indem Du den Winkel zweimal um jeweils 120° weiterdrehst. Mehr dazu in unserem Workshop: [WS] Komplexe Zahlen

Zu 3:
Auch hier hast Du die Hauptlösung richtig berechnet, die beiden anderen aber nicht. Auch die musst Du noch korrigieren.

Viele Grüße
Steffen

15.06.2015, 17:19

Chloe2015

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Danke!

"Das Ergebnis stimmt, auch wenn die Herleitung für den Radius 1,71 schlimm aussieht. Die müsstest Du noch korrigieren."

Was meinst du damit ?

$\begin{eqnarray*} r= \sqrt[3]{r^3} = \sqrt[3]{3^2+4^2} = 1,71 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^3 = \sqrt{3²+4²} = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt[3]{5} = 1,71 \end{eqnarray*}$

15.06.2015, 17:29

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Chloe2015
Was meinst du damit ?

Das hier:

Zitat:

Original von Chloe2015
$\begin{eqnarray*} r= \sqrt[3]{r^3} = \sqrt[3]{3^2+4^2} = 1,71 \end{eqnarray*}$

Denn $\begin{eqnarray*} r= \sqrt[3]{r^3} \end{eqnarray*}$ ist zunächst mal korrekt, führt aber zu nichts, so berechnest Du nicht die dritte Wurzel aus dem urprünglichen Radius r.

Und $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{r^3} = \sqrt[3]{3^2+4^2} \end{eqnarray*}$ stimmt auch nicht, denn 3²+4² ist nicht r³, sondern r². Du willst aber doch die dritte Wurzel aus r und nicht aus r² oder r³.

Weiter ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3^2+4^2}=\sqrt[3]{25}=2,92.. \end{eqnarray*}$ und nicht 1,71.

In den zwei weiteren Zeilen hast Du das besser gelöst. Nun ist r³ der ursprüngliche Radius, somit erhältst Du r, indem Du die dritte Wurzel ziehst.

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