Verschoben! Schnittpunkt/ Durchstoßpunkt Ebene und Gerade

15.06.2015, 01:11

Pauli321

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Schnittpunkt/ Durchstoßpunkt Ebene und Gerade

Hi! ich kom einfach nicht weiter.. ich habe die Formel : $\begin{eqnarray*} \vec{rs} = \vec{r1} \frac{\vec{n} ( \vec{r0} - \vec{r1} }{\vec{n} \cdot \vec{a} } \cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$

und ich kom einfach nicht auf den Vektor "r0" und "a" ?? Könnte ihr mir bitte Helfen :-/

gegeben:

e: r = r1 + y*u + µ *v
g: r = r2 + v*w

r1= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
u= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
v= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
r2= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
w= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zunächst berechne in den "n" Vektor u x v:

= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hoffe ich das mit dem Formeleditor alles richtig gemacht, vielen Dank

15.06.2015, 01:13

Pauli321

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jetzt habe ich doch durch das ganze copy und paste den letzten Satz vergessen:

" ohne diese beiden kann ich einfach nicht weiter rechnen, bitte helft mir Freude

Freude

"

15.06.2015, 02:14

mYthos

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Denke erstens daran, dass man - zur einfacheren Rechnung - Richtungsvektoren abkürzen kann.
Zweitens sind deine Parametergleichungen ungewöhnlich formuliert.
Ein Parameter wird nicht mit y bezeichnet und links steht nicht r, sondern x (bzw. $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ )
Drittens ist der Normalvektor falsch, er muss (0; -1; 1) lauten.
Mache dabei immer die Probe mittels skalarer Multiplikation, diese muss Null ergeben.

Auch die Formel ist ungewöhnlich, darin kommen 6 Variable vor.
Weisst du wirklich, was diese einzeln bedeuten oder willst du dort nur stumpf einsetzen?

Mit Hilfe des Normalvektors kannst du schon die Koordinatenform der Ebenengleichung berechnen:

$\begin{eqnarray*} \vec n \vec x = \vec n \vec {r_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix} = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

(Koordinatenform in den Variablen x1, x2 und x3)

Darin werden nun die Zeilen x1, x2, x3 der Geradengleichung eingesetzt, also
x1 = 2 + v, x2 = 2v, x3 = 4 + 4v

womit v berechnet wird, welches - wieder zurück eingesetzt - die Koordinaten des Schnittpunktes ergibt.

mY+

15.06.2015, 02:53

Pauli321

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ich muss zugeben "µ,v,w" andere "Buchstaben" in Wirklichkeit sind, ich habe nur leider keine Lateinische Tastatur. Habe anbei die Aufgabenstellung hingefügt, damit keine weiteren Verstänissprobleme auftreten

hab eben den n Vektor nochmal nachgerechnet und komme auf (0; -2; 2)

Danke für den Tipp! Den kannte ich noch nicht! Ist mir ein große Hilfe, mache dort öfters Leichtsinnsfehler unglücklich

unglücklich

die Formel ist aus dem Papula und kannte bis dato keine andere. Und ja würde eher auf "Stumpf einsetzen hinauslaufen Big Laugh

Big Laugh

wie genau kommst du auf "x1 = 2 + v, x2 = 2v, x3 = 4 + 4v" ?

Danke !

15.06.2015, 09:32

mYthos

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Zitat:

Original von Pauli321
...
wie genau kommst du auf "x1 = 2 + v, x2 = 2v, x3 = 4 + 4v" ?
...

Das ist die zeilenweise angeschriebene Parameterform deiner Geraden.
Die Parameterform kann man ja in die drei Richtungen x1, x2, x3 (oder eben x, y, z, wenn dir das geläufiger ist) zerlegen.
Jeder Punkt der Geraden hat demnach die Koordinaten (2+v); 2v; (4+4v), diese werden in die Ebenengleichung eingesetzt, um den Parameter v des Schnittpunktes zu bestimmen.

Ein Normalvektor der Ebene ist (0; -2; 2), das ist nun richtig.
Dieser kann zu (0; -1; 1) abgekürzt werden, denn er bleibt ja dabei immer noch ein Normalvektor der Ebene, er hat die gleiche Richtung und ist nur halb so lang.

Übrigens:
Die Frage b) ist missverständlich gestellt, gemeint ist nicht der Abstand des Vektors von der Ebene (was natürlich ein Unsinn ist), sondern der Abstand des von dem Ortsvektor bezeichneten Punktes R2 (2; 0; 4) von der Ebene.
Hast du diesen schon berechnet?

mY+

15.06.2015, 17:10

Pauli321

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Zitat:

Original von mYthos

Das ist die zeilenweise angeschriebene Parameterform deiner Geraden.
Die Parameterform kann man ja in die drei Richtungen x1, x2, x3 (oder eben x, y, z, wenn dir das geläufiger ist) zerlegen.

wir haben das Themengebiet nur kurz angeschnitten in der Vorlesung. Deshalb auch meine jetztige Frage: Funktioniert das nicht auch mit der Formel die ich angegeben habe? Und wenn, ja woran erkenne ich was der Vektor "a" und "r0" ist?

Zitat:

Übrigens:
Die Frage b) ist missverständlich gestellt, gemeint ist nicht der Abstand des Vektors von der Ebene (was natürlich ein Unsinn ist), sondern der Abstand des von dem Ortsvektor bezeichneten Punktes R2 (2; 0; 4) von der Ebene.
Hast du diesen schon berechnet?

mY+

Bin eben erst aus der Uni gekommen, werde das gleich erledigen.

und vielen Dank schonmal für deinen Alternativ vorschlag!

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15.06.2015, 21:13

mYthos

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Die von dir angegeben hübsche Formel hat nur einen Schönheitsfehler: Sie stimmt nicht.
Man kann sie (die richtige) aber herleiten, wenn so gerechnet wird, wie es vordem schon beschrieben wurde: Also zuerst den Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ berechnen und dann in die Geradengleichung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} E: \ \vec n \vec x = \vec n \vec {r_0} \ ; \ R_0 \text{ ist ein Punkt der Ebene } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \ \vec x = \vec{r_1} + t \cdot \vec a \ ; \ R_1 \text{ ist ein Punkt der Geraden } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec n (\vec {r_1} + t \vec a) = \vec n \vec {r_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ . . . . .} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec s = \vec{r_1} + \frac {\vec n \cdot (\vec{r_0} - \vec{r_1})}{\vec n \vec a} \cdot \vec a \ ; \ S \text{ ist der Schnittpunkt } \end{eqnarray*}$

Offensichtlich fehlt in deiner Formel ein PLUS.
Für die Gültigkeit dieser Beziehung gilt eine bestimmte Voraussetzung. Welche?

mY+

15.06.2015, 21:37

Pauli321

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Sie haben recht, dort fehlt ein Plus!

Die Beziehung müsste sein, dass der Richtungsvektor der Gerade "a" und dem Normalvektor "n" $\begin{eqnarray*} \vec{n} \vec{a} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist?

aber dafür müsste noch wissen, was r0 um denn Schnittpunkt S zu berechnen

schonmal vielen Dank!

16.06.2015, 02:05

mYthos

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Richtig, das Skalarprodukt im Nenner muss ungleich Null sein, also darf der Normalvektor der Ebene nicht senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden stehen. Denn in diesem Fall wäre die Gerade parallel zur Ebene (--> kein Schnittpunkt) oder sie würde in der Ebene liegen (--> die Gerade selbst ist Schnittmenge). In jedem anderen Fall existiert ein Schnittpunkt.

R0 kann ein beliebiger Punkt der Ebene sein, in der Angabe ist ein Punkt ersichtlich, (0; -5; -4), dort heisst er allerdings R1, was ja in der Formel nichts ausmacht.

Wie sieht's mit dem Abstand aus?

Übrigens duzen wir uns hier im Forum smile

smile

mY+

16.06.2015, 13:49

Pauli321

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jetzt habe ich noch mehr Fragezeichen im Gesicht.. woher weiß man was was rq, r1 und r0 ist? Das restliche zu rechnen ist kein Problem. Es ist sonst immer aufgegangen, sprich die Angabe hat sich mit den Bezeichnungen der Formel gedeckt?

Formel für die Distanz ist ja: d= $\begin{eqnarray*} \frac{\vec{n}(\vec{rq} - \vec{r1} }{\vec{n} } \end{eqnarray*}$

woher weiß ich was rq und r1 ist? r1 war/ist beim Schnittpunkt r0?

Danke für deine Hilfe! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Freude

16.06.2015, 14:21

mYthos

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Das kommt davon, wenn man keine Ahnung davon hat, wie diese Formel zustande gekommen ist oder auch nicht wenigstens die Bedeutung der darin verwendeteten Größen kennt.
Das ist jetzt nicht böse gemeint, es charakterisiert nur, dass das stupide Einsetzen in eine Formel unproduktiv und letal werden kann Big Laugh

Big Laugh

Die Formel ist wieder einmal falsch, im Nenner fehlen die Betragszeichen.

$\begin{eqnarray*} \vec{r_q} \end{eqnarray*}$ führt zu jenem Punkt (hier ist es $\begin{eqnarray*} \vec{r_2} \end{eqnarray*}$ ), dessen Abstand bestimmt werden soll und $\begin{eqnarray*} \vec{r_1} \end{eqnarray*}$ zu einem beliebigen Punkt der Ebene (der hier gegeben ist).

Anstatt $\begin{eqnarray*} \frac {\vec n}{|\vec n|} \end{eqnarray*}$ schreibt man auch $\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \end{eqnarray*}$ , das ist der normierte Normalvektor (mit der Länge 1).

$\begin{eqnarray*} d = |\vec{n_0} \cdot (\vec {r_q} - \vec{r_1})| = |\frac {\vec n \cdot (\vec {r_q} - \vec{r_1})} {|\vec n|}| \end{eqnarray*}$

mY+

16.06.2015, 16:11

Pauli321

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Zitat:

Original von mYthos
Das kommt davon, wenn man keine Ahnung davon hat, wie diese Formel zustande gekommen ist oder auch nicht wenigstens die Bedeutung der darin verwendeteten Größen kennt.
Das ist jetzt nicht böse gemeint, es charakterisiert nur, dass das stupide Einsetzen in eine Formel unproduktiv und letal werden kann Big Laugh

Big Laugh

geb ich dir recht, aber ist auch immer eine Frage von Zeit und Nutzen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{r_q} \end{eqnarray*}$ führt zu jenem Punkt (hier ist es $\begin{eqnarray*} \vec{r_2} \end{eqnarray*}$ ), dessen Abstand bestimmt werden soll und $\begin{eqnarray*} \vec{r_1} \end{eqnarray*}$ zu einem beliebigen Punkt der Ebene (der hier gegeben ist).

woher hast erkannt das für den Abstand r1 gleich angabe r1 ist und für den Schnittpunkt r1 ist r0 der Angabe?

Zitat:

Anstatt $\begin{eqnarray*} \frac {\vec n}{|\vec n|} \end{eqnarray*}$ schreibt man auch $\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \end{eqnarray*}$ , das ist der normierte Normalvektor (mit der Länge 1).

$\begin{eqnarray*} d = |\vec{n_0} \cdot (\vec {r_q} - \vec{r_1})| = |\frac {\vec n \cdot (\vec {r_q} - \vec{r_1})} {|\vec n|}| \end{eqnarray*}$

mY+

vielen Dank für die ausführliche Info!

16.06.2015, 18:16

mYthos

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Zitat:

Original von Pauli321
...
woher hast erkannt das für den Abstand r1 gleich angabe r1 ist und für den Schnittpunkt r1 ist r0 der Angabe?
...

Das ergibt sich sowohl aus der Angabe als auch aus den beiden Formeln, bei denen man unbedingt wissen muss, was die einzelen Größen bedeuten und wo sie zu finden sind.
Ich mache dir den Vorschlag, rechne mal beide Aufgaben a) b) aus und ich sage dir dann, ob deine Rechnung bzw. die Resultate korrekt sind.

mY+

16.06.2015, 23:21

Pauli321

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Vektor n = (0,-2, 2) (u x v)
Vektor a = (-1,-2,4) (Richtugnsvektor der Geraden)
Vektor r0 = r1 (0,-5,-4)
Vektor r1 = r2 (2,0,4)

n * (r0 - r1) = 2

n * a = -4

n/ (n*a) = -0,5

r2 + (-0,5) *a = x = 2,5; y = 1; z= 6

17.06.2015, 01:31

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \nu = -0.5 \end{eqnarray*}$ stimmt, jedoch ist z nicht 6
-->
z = 4 - 2 = 2

--> S(2.5; 1; 2)

b) Abstand?

mY+

17.06.2015, 02:04

Pauli321

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stimmt ist 2! Aber laut Lösung müsste der Schnittpunkt a) x= 1; y = -2; z = 0 haben verwirrt

verwirrt

17.06.2015, 13:08

mYthos

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Da hat sich einerseits ein Abschreibfehler bei w (Richtungsvektor der Geraden) eingeschlichen, w ist nämlich (-1; -2; -4),
andererseits stimmt der Normalvektor der Ebene auch nicht (dort war ein Richtungsvektor falsch übernommen), es muss richtig: n = (1; 1; -1) sein.

Somit lautet die Ebene: x + y - z = -1, die Gerade r = (2; 0; 4) + t*(-1; -2; -4)

Wenn nun damit gerechnet wird, ist t = 1 und S(1; -2; 0)

mY+

27.06.2015, 04:17

Pauli321

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Zitat:

Original von mYthos
Da hat sich einerseits ein Abschreibfehler bei w (Richtungsvektor der Geraden) eingeschlichen, w ist nämlich (-1; -2; -4),
andererseits stimmt der Normalvektor der Ebene auch nicht (dort war ein Richtungsvektor falsch übernommen), es muss richtig: n = (1; 1; -1) sein.

Somit lautet die Ebene: x + y - z = -1, die Gerade r = (2; 0; 4) + t*(-1; -2; -4)

Wenn nun damit gerechnet wird, ist t = 1 und S(1; -2; 0)

mY+

Ich muss mich nochmal kurz melden, bin eben die Aufgaben nochmal durchgegangen, nachdem ich dachte ich kann alles, aber halt stop... alles auf anfang -.-

welche Vektoren nehme ich dann für den normalvektor? doch nicht u x v? u x v = (-2,-2,2)

vielen Dank für deine rießen Hilfe bisher! Freude

Freude

27.06.2015, 11:28

mYthos

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Doch, u x v, was denn sonst? u, v sind die Richtungsvektoren der Ebene und dazu brauchst du eben den Normalvektor.
Den hast du ja auch richtig berechnet, denn deinen (-2; -2; 2) kannst du (mittels Division durch -2) zu (1; 1; -1) abkürzen!
Natürlich kannst du auch mit dem anderen weiterrechnen, es ändert nichts an dem Resultat.

mY+

27.06.2015, 16:19

Pauli321

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kürzen kann man, aber man muss nicht, richtig?

dann muss mein Fehler wo anders liegen, hab meinen Gesamten Rechenweg nochmal sauber abgeschrieben... ich wüsste nicht wo er liegen sollte. Selbst wenn ich mit dem gekürzten Ergebnis rechne kommt es nicht raus

unglücklich

unglücklich

27.06.2015, 16:21

Pauli321

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Datei war noch zu Groß..

27.06.2015, 17:35

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Was machst du da? Was machen die 3,46 hier, es ist ja nicht der Betrag einzusetzen!
Nun, $\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec a = -2 \end{eqnarray*}$ , das stimmt, im Zähler muss aber stehen $\begin{eqnarray*} \vec n \cdot (\vec{r_0} - \vec {r_1}) \end{eqnarray*}$ und das ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ -8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ .
Somit ist $\begin{eqnarray*} \vec s = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
----------------
Ich frage dich noch nebenbei, warum du nicht den anderen Weg gehen willst, indem du jenes t von der Geraden bestimmst, das zum Schnittpunkt mit der Ebene führt:
[In die Ebenengleichung für x, y, z die Werte der Parametergleichung einsetzen:]

$\begin{eqnarray*} (2-t)+(0-2t)-(4-4t) = -1 \end{eqnarray*}$

mY+

29.06.2015, 13:27

Pauli321

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stimmt! weiß auch nicht wie ich darauf gekommen bin. Habs nochmal gemacht und bin ebenfalls auf die Lösung gekommen - danke! Freude

Freude

noch eine letzte Frage: bei der Distanz, stimmt das?

Also n( r2 - r2) / n = 1

30.06.2015, 00:51

mYthos

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Nein!
Du hast nicht durch den Betrag des Normalvektors, $\begin{eqnarray*} |\vec n| \end{eqnarray*}$ , dividiert!

mY+

30.06.2015, 04:49

Pauli321

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$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} }{2\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

so müsste es jetzt stimmen, aber eine Frage noch bilde ich jetzt im Zähler den Betrag von n oder muss ich den mit den Vektor (0,0,0) ausmultiplizieren?

vielen Dank euch! Gott

Gott

Gott

Gott

30.06.2015, 13:10

mYthos

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Du solltest dir - wie schon eingangs erwähnt - endlich mal über die Natur bzw. den Ursprung der Formel klar werden! Wohin das sture (sorglose) Einsetzen in die Formel führen kann, wird ja hier im Verlauf des Threads ziemlich schonungslos evident.

Wieso steht also rechts der Nullvektor? Das muss doch $\begin{eqnarray*} \vec {r_0} - \vec {r_1} \end{eqnarray*}$ sein und der ist sicher nicht Null.
Im Zähler wird NICHT der Betrag von $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ gebildet, denn der steht ja schon im Nenner.

Zitat:

Original von Pauli321

vielen Dank euch! Gott

Gott

Gott

Gott

Danke für den "pluralis majestatis" Big Laugh

Big Laugh

mY+

30.06.2015, 13:51

Pauli321

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also r1 - r2:

(0,-5,-4) - (2,0,4) = (-2,-5,-8)

n * (r1-r2)

(-2,-2,2) * ( -2,-5,-8) = 4 + 10 - 16 = -2

-> -2/ $\begin{eqnarray*} 3 \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 3 \sqrt{2} / 3 \end{eqnarray*}$

und es stimmt immernoch nicht mit der Lösung überein >.<

30.06.2015, 13:53

Pauli321

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ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}/3 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 3 \sqrt{2}/3 \end{eqnarray*}$

01.07.2015, 01:14

mYthos

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Zitat:

Original von Pauli321
also r1 - r2:

(0,-5,-4) - (2,0,4) = (-2,-5,-8)

n * (r1-r2)

(-2,-2,2) * ( -2,-5,-8) = 4 + 10 - 16 = -2
...

Bis daher stimmte es, dann hattest du einen Zahlendreher, richtig ist

-> $\begin{eqnarray*} -2 / 2 \sqrt{3} = .. \end{eqnarray*}$

Und das ist, nach Kürzen -->

$\begin{eqnarray*} d = |-\frac 1 {\sqrt 3}| = \frac 1 {\sqrt 3} \end{eqnarray*}$ (weil's negativ war, musste man den Betrag nehmen)

mY+

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