Zahlentheorie

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15.06.2015, 08:40	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie Meine Frage: Hallo. Ich komme leider mit zwei Teilaufgaben gar nicht voran. Und wäre sehr dankbar für die Hilfe. Danke im Voraus. 1)Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Die Menge M aller Elemente der Ordnung größer 2 sei nicht leer. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \prod\limits_{m \in M} m=e \end{eqnarray}$ wobei e das naeurale Element ist. Was ergibt sich daraus im Falle G= $\begin{eqnarray} E(\mathbb Z_{p}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p\in \mathbb P \end{eqnarray}$ ? E ist die Einheitengruppe. 2) Sei K ein Körper mit $\begin{eqnarray} k^{7}=1 \forall k \in K^{} \end{eqnarray}$ .Zeigen Sie das \|K\| $\begin{eqnarray} \in {2,8} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen:* Bei der 1 habe ich gedacht, dass mir folgendes Lemma helfen kann: G endl. abelsche Gruppe, $\begin{eqnarray} x,y \in G \end{eqnarray}$ mit ggT(x,y)=1. Dann folgt ord(xy)=ord(x)ord(y), wobei ord(x) die Ordnung von x ist. Leider fällt mir der Ansatz. Bei der 2 weiß ich nur da das Polynom $\begin{eqnarray} x^{7}-1 \end{eqnarray}$ höchstens 7 Ns in K hat gibt es höchstens 7 7-te Einheitswurzeln in K. Und wenn es 7 7-te Einheitswurzeln gibt,gilt für 7 Elemente $\begin{eqnarray} k^{7}=1 \end{eqnarray}$
15.06.2015, 09:32	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie hallo, ich hätte da ein paar tips: zu 1) denke daran, das in einer gruppe jedes element ein inverses hat, das glaube ich auch die gleiche gruppenordnung hat. zu 2) in einem körper hat die multipliokative gruppe immer ein element weniger als die additive gruppe. Wie der körper für \|K\|=2 und \|K\|=8 aussieht, ist klar. Wieso kann es keine anderen möglichkeiten geben? gruss ollie3
15.06.2015, 17:56	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie Ok danke.Eine Frage zu i.also wir haben heute echt lange drüber nachgedacht,aber wir sind nicht drauf gekommen was ist, wenn G die Einheitengruppe von Zp ist mit p Primzahl. Kannst du mir da nochmal einen kurzen Hinwies geben. Leider ist mir bei der ii nicht unbedingt klar,warum die Mächtigkeit des Körpers K unbedingt 2 und 8 ist und keine andere möglich ist. Nochmals danke fuer die Hilfe.
15.06.2015, 18:51	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie hallo, also, die einheitengruppe von Z_p sind alle zahlen von 1 bis p-1, weil sie ja allle ein multiplikatives inverses haben, denn sie sind ja alle zu p teilerfremd. Und zu 2) der einfachste körper besteht nur aus 2 elementen, nämlich {0,1}, denn es gilt ja 1^7=1. Die andere möglichkeit ist {0, zeta_7^1, zeta_7^2, ... zeta_7^7}, der körper besteht aus 8 elementen, wobei zeta_7 die prim.7. einheiteswurzel ist. Jetzt überlegt euch noch, warum es keine anderen möglichkeiten gibt... gruss ollie3
15.06.2015, 21:05	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie Ich wuerde sagen weil das polynom x^7-1 hoechstens 7 ns haben kann.
16.06.2015, 07:48	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie hallo, das ist nur der grund, warum die multiplikative gruppe nicht mehr als 7 elemente habe kann. Warum sie aber genau 7 elemente hat, liegt an folgendem: k^7=1 heisst doch, dass jedes k die ordnung 1 oder 7 haben muss, und weil die ordnung eines elementes immer teiller von der ordnung der gruppe ist, bleibt nur diese möglichkeit übrig. Erst jetzt ist die begründung vollständig. gruss ollie3
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16.06.2015, 10:47	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie Ok,vielen Dank. Ich habe noch eine kurze Frage zur einer anderen Teilaufgabe des Blattes, weil ich da auch nicht weiter komme. Sei G:=E(Zn) einheitsgruppe von Zn. Zeigen sie dass das Produkt über alle elemente von G gleich -[1] aus Zn ist. Also erstmal meine Notizen: G ist endlich mit der Mächtigkeit phi(n). Noch dazu zyklisch,also G=<x>. Da G endlich gilt ord(x)=phi(n) für den erzeuger. aus der Folgerung von Euler und Fermat weiß ich dass folgendes gilt:Sei G eine endliche Gruppe mit n Elementen. Dann gilt fur jedes ¨ x ∈ G: x^(n) = e. ALso hat jedes Element in G die Ordnung gleich phi(n). Für alle m aus {1..n-1} mit ggt(m,n)=1: $\begin{eqnarray} m^{phi(n)}\equiv 1(modn) \end{eqnarray}$ . Aber irgendwie komm ich nicht damit auf die -[1] die sich aus dem Prdoukt ergibt.
16.06.2015, 11:32	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie hallo, bei dem beweis dafür nutzt man aus, das in der einheitengruppe von Zn von jedem element auch das inverse drin ist, ausser 1 und n-1, die siind zu sich selbst invers. Bei Z/10Z z.b. wäre die einheitengruppe {1,3,7,9}, 3 und 7 neutralisieren sich, denn 3*7=1 mod 10, es bleibt noch 9=-1 mod 10 übrig. gruss ollie3
16.06.2015, 12:09	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie Vielen Dank.

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