Faktorisierung am schnellsten

15.06.2015, 12:16

Julai21

Faktorisierung am schnellsten

Meine Frage:
Hey, wenn ich keine Nullstellen schaffe zu eraten, wie faktorisiere ich am Besten sowas:

$\begin{eqnarray*} y^3 - 5y^2+8y-6 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Gibt es da eine Möglichkeit? Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} y( y^2 - 5y2+8)-6 \end{eqnarray*}$

Ich stehe da auf dem Schlauch,

Danke und liebe Grüße Jule

15.06.2015, 12:22

Mi_cha

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du kannst zwar derart ausklammern; das bringt dich aber nicht weiter.
Beim "Raten" der Nullstelle verwende die Teiler des Absolutgliedes - hier also der 6 - und du wirst auf eine Nullstelle stoßen.

15.06.2015, 12:57

Julai21

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Hey danke, also das Ausklammern bringt echt nichts und erraten der Nullstelle bringt die Lösung x = 3

Dann PQ-Formel bringt, aber keine Lösungen.

Mein Problem ist generell die Nullstellen zu erkennen unglücklich

Gibt's da Tricks, wie schaffe ich das am Besten und vor allem am Schnellsten?

Jule

15.06.2015, 13:03

Mi_cha

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Bei Funktionen dritten Grades kann man nur geschickt raten. Welche Zahlen man probeweise einsetzen soll, sind gerade die Teiler des Absolutgliedes.

Bei Funktionen zweiten Grades die pq-Fromel benutzen.

Falls man ausklammern kann - also die Variable bei jedem Glied auftrritt - sollte man das tun.

Damit sollte man eigentlich hinkommen.

PS bei dieser Aufgabe gibt es nur die Nullstelle x=3.

15.06.2015, 13:23

Julai21

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Das Problem ist wenn diese Funktion dritten Grades im
Nenner ist und man Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion bilden möchte
dann muss man die komplexen Nullstellen auch berücksichtigen?

Jule

15.06.2015, 13:43

Mi_cha

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ja, das muss man.

Wenn du bspw. eine PBZ von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^3-5x^2+8x-6} \end{eqnarray*}$ machen willst, kannst du den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^3-5x^2+8x-6} = \frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+2} \end{eqnarray*}$

wählen.

15.06.2015, 14:43

Julai21

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Zitat:

Original von Mi_cha
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^3-5x^2+8x-6} = \frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+2} \end{eqnarray*}$

Kann ich denn es auch so machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^3-5x^2+8x-6} = \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+i} +\frac{C}{x-i} \end{eqnarray*}$
Oder ist das nicht erlaubt?

Jule

15.06.2015, 14:51

Mi_cha

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nicht ganz. Die komplexen NS liegen bei 1+i und 1-i.

Demnach wäre der Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^3-5x^2+8x-6} = \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-(1+i)}+\frac{C}{x-(1-i)} \end{eqnarray*}$ .

Ich bin aber nicht sicher, ob das sinnvoller ist. Dazu fehlt mir das Wissen Augenzwinkern

15.06.2015, 19:15

Julai21

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Zitat:

Original von Mi_cha
Demnach wäre der Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^3-5x^2+8x-6} = \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-(1+i)}+\frac{C}{x-(1-i)} \end{eqnarray*}$ .

Okay aber diese Faktorisierung ist äquivalent zu der mit dem x im Zähler?

Jule

15.06.2015, 20:18

Mi_cha

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