Konvergenz einer Funktion mit zwei Veränderlichen

15.06.2015, 12:47	omnomnom	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Funktion mit zwei Veränderlichen Hallo, ich hänge gerade ziemlich an meiner Aufgabe. Ich habe die Funktion: $\begin{eqnarray} f\left(t,x \right) = \frac{1}{t}e^{-\frac{x^{2} }{t} } \end{eqnarray}$ und soll jetzt…: a) …schauen ob sie bei t von oben gegen Null konvergiert: $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0^{+} } f(t,x) \end{eqnarray}$ b) …bestimmen ob sie auf dem Gebiet $\begin{eqnarray} G = \left\{ \left(t,x\right): t > 0, x \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ stetig oder beschränkt ist. Zu a) Mein Ansatz wäre dieser gewesen: $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0^{+} } \frac{1}{t}e^{-\frac{x^{2} }{t} } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0^{+} } \frac{1}{t} \cdot \left(e^{-n} \right)^{\frac{x}{t} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{t} \end{eqnarray}$ ginge dann gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{x}{t} \end{eqnarray}$ auch gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ , womit $\begin{eqnarray} \frac{e}{x}^{\frac{x}{t} } \end{eqnarray}$ ja dann… gegen 0 ginge? Weil es ja ein Bruch ist? Mich verwirrt das "von oben" gegen 0 etwas, da ich nicht weiß, was ich hier besonders beachten muss. Zu b) Hier habe ich keinen wirklichen Ansatz… habe nur nach etwas googlen ne Idee gefunden, dass ich zwei folgen $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_{n} \end{eqnarray}$ aufstellen könnte, deren Grenzwerte bei $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \end{eqnarray}$ jeweils gegen $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_{0} \end{eqnarray}$ laufen würden und diese dann für t und x einsetzen… und dann die Funktion gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ laufen lassen könnte. Dann das was als Ergebnis rauskommt mit $\begin{eqnarray} f\left(x_{0}, y_{0} \right) \end{eqnarray}$ vergleichen…… hat in der Praxis aber nicht sooo cool hingehauen… Soo… hoffe ihr könnt mir helfen
15.06.2015, 15:16	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Salve, hier ist ein Tipp. Fixiere $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ und beachte, dass $\begin{eqnarray} t\to 0^{+} \end{eqnarray}$ äquivalent ist zu $\begin{eqnarray} 1/s=t,s\to\infty \end{eqnarray}$ . Dann reduziert sich deine Frage darauf, ob $\begin{eqnarray} \lim_{t\to0^{+}}\frac{e^{-\frac{x^{2}}{t}}}{t}=\lim_{s\to\infty}se^{-sx^{2}} \end{eqnarray}$ existiert. Was kannst Du über den letzten Grenzwert aussagen? Ad (b): Für die Stetigkeit kannst Du Sätze über die Komposition stetiger Abbildungen zu Rate ziehen. Für die Beschränktheit solltest Du Dir (a) ansehen. Best wishes, DRM

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