Dimension & Länge eines Vektors

15.06.2015, 13:23	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension & Länge eines Vektors Hallo, Die Dimension eines Vektorraumes ist definiert als die Anzahl der Basisvektoren welchen diesen Raum aufspannen. Nun können verschiedenlange Vektoren aber gleichdimensionale Vektorräume aufspannen. Zum Beispiel: R^3 und $\begin{eqnarray} { (a,b,c,c) \| a,b,c \in R} \end{eqnarray}$ mit der kanonischen Basis. 1. Gibt es einen Begriff, für die Länge der Basisvektoren, ist diese Eigenschaft in irgendeienrweise nutzbar? 2. R^n ist doch eine Notation und beschreibt immer Vektorräume welche von Basisvektoren der Länge n aufgespannt werden, oder? Eigentlich ist es ja einfach eine nx1 Matrix, nich?
15.06.2015, 13:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beispiel verstehe ich nicht. Du verwechselst "Dimension eines Vektorraums" und "Länge eines Vektors". Diese Begriffe haben nichts miteinander zu tun. Wenn ich sehr wohlwollend bin, könnte ich Dein Beispiel als 3-dimensionalen Untervektorraum des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ verstehen. Meinst Du das so ? $\begin{eqnarray} \mathbb R^n=\mathbb R^{\{1,...,n\}}=Abb(\{1,...,n\}\to \mathbb R) \end{eqnarray}$
15.06.2015, 16:17	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, wo vertausche ich Dim. mit Länge? Du hast es schon richtig gesagt. Ich meine einen 3dim Untervektorraum eines 4dim Vektorraumes. Es gibt nun aber diverse 3dim Untervektorräume desselber 4dim Vektorraumes, welche unterschiedlich lange Vektoren haben, nicht? Sprich, der eine 3dim untervektorraum hat z.B. Vektoren mit 4 komponenten, ein anderer hat nur 3. Sprich, die Länge eines Vektors eines n-dim Untervektorraumes ist immer grösser gleich n.
15.06.2015, 20:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man spricht in diesem Zusammenhang nicht von Länge eines Vektors. Unter der Länge eines Vektors $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ versteht man seine Norm $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|\in \mathbb R_{\le 0} \end{eqnarray}$ , wenn er Element eines normierten Vektorraums ist. ( http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum ) In einem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionalen Vektorraum hat jede Basis genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Vektoren $\begin{eqnarray} b_1,...,b_n \end{eqnarray}$ , also hat jeder Vektor in einem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionalen Vektorraum die eindeutige Basisdarstellung $\begin{eqnarray} v=\sum_{i=1}^n\alpha_i b_i=\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ ... \\ \alpha_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Komponenten. In deinem Beispiel ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} c=d \end{eqnarray}$ die definierende Gleichung für einen $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 <\mathbb R^4 \end{eqnarray}$ . Man nennt jeden $\begin{eqnarray} (n-1) \end{eqnarray}$ -dimensionalen Untervektorraum eines $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionalen Vektorraums eine Hyperebene. $\begin{eqnarray} c=d \end{eqnarray}$ ist eine lineare Gleichung. Die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen sind Nebenklassen von Untervektorräumen. Vielleicht ist das die Bedeutung, die du suchst ???
16.06.2015, 12:57	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich habe ich den Begriff Länge hier falsch benutzt. Auch die eindeutige Basisdarstellung ist klar. Danke für den Begriff Hyperebene. Nebenklassen ist sowieso ein Thema was ich mir bald noch genauer anschauen werde. Ich geh mal ein paar Beispiele durch und frage ggf. nach.
16.06.2015, 13:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} U<V \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum und $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ ein Vektor, so heißt $\begin{eqnarray} v+U=\{v+u:u\in U\} \end{eqnarray}$ eine Nebenklasse von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Die Relation $\begin{eqnarray} x\sim y:\Leftrightarrow x-y\in U \end{eqnarray}$ ist eine Äquivalenzrelation, die Klassen dieser Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} [v]=v+U \end{eqnarray}$ sind genau die Nebenklassen von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , also zerfällt $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ in paarweise verschiedene Nebenklassen von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Die Menge $\begin{eqnarray} V/U:=\{v+U:v\in V\} \end{eqnarray}$ wird durch $\begin{eqnarray} x+U+y+U:=x+y+U, \alpha(v+U):=(\alpha v)+U \end{eqnarray}$ zu einem Vektorraum, dieser heißt Quotientenraum oder Faktorraum " $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ".
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