Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen

15.06.2015, 15:43

Dippi

Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen

Hallo,

ich habe grade ein paar Probleme mit der Berechnung eines Grenzwertes von einer Funktion mit mehreren Variablen
(in meinem Fall x und y). Ich habe herausgefunden, dass es hierfür leider keinen allgemein gültigen Ansatz gibt, welcher das Problem löst.

Der Zusammenhang ist die Differenzierbarkeit von Funktionen.

Folgende Verfahren/Ansätze sind mir dabei bereits bekannt:
- Funktion in Polarkoordinaten darstellen und Grenzwert über Radius berechnen.
- Grenzwert entlang den Achsen berechnen (x=0 und y=0)
- Regel von L’Hospital (soll hier nicht benutzt werden)

Die konkrete Aufgabe sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (8,2)} \frac{4\frac{x}{y}-\frac{1}{2}x+2y}{\sqrt{(x-8)^{2}+(y-2)^{2}}} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist der Nenner 0 wenn man x und y in die Funktion einsetzt. Da man bekanntlich nicht durch Null teilen darf,
brauche ich also einen anderen Ansatz zur Berechnung des Grenzwertes. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

15.06.2015, 21:27

mYthos

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Der Grenzwert könnte existieren, wenn auch der Zähler gegen Null geht.
Das tut er aber hier nicht, deswegen geht der Grenzwert über alle Grenzen.

mY+

15.06.2015, 21:31

Dippi

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Das habe ich jetzt nicht ganz verstanden. Also du meinst es existiert gar kein Grenzwert?

15.06.2015, 21:33

mYthos

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Ja, denn der Zähler geht gegen einen endlichen Wert (16) und der Nenner gegen 0.
Das gibt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

mY+

15.06.2015, 21:37

Dippi

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Dann muss ich wohl irgendwo vorher einen Fehler gemacht haben.
Eigentlich sollte als Grenzwert nämlich Null rauskommen.
Ich such nochmal nach Fehlern. Danke schonmal Augenzwinkern

15.06.2015, 21:53

Dippi

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So ich hab den Fehler gefunden:
Die Ausgangsfunktion war falsch. Die 4 gehört nicht zum x/y dazu sondern wird noch abgezogen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (8,2)} \frac{\frac{x}{y}-\frac{1}{2}x+2y-4}{\sqrt{(x-8)^{2}+(y-2)^{2}}} \end{eqnarray*}$

So, nach Einsetzten habe ich nun den Fall 0/0.

16.06.2015, 01:53

mYthos

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Bringe den Zähler auf den gemeinsamen Nenner (2y) und faktorisiere dann zu $\begin{eqnarray*} (x - 4y) \cdot (2 - y) \end{eqnarray*}$ .
Nun kann der ganze Bruch durch $\begin{eqnarray*} (2 - y) \end{eqnarray*}$ gekürzt werden:
Im Zähler bleibt $\begin{eqnarray*} (x - 4y) \end{eqnarray*}$ , im Nenner $\begin{eqnarray*} 2y \sqrt{\left(\frac{x-8}{2-y}\right)^2 + 1} \end{eqnarray*}$
Den Grenzwert des Bruches im Quadrat berechne mittels $\begin{eqnarray*} x = 8 + h, \ y = 2 + h \text{ und } h \to 0 \end{eqnarray*}$

mY+

16.06.2015, 12:17

Dippi

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Danke für deine Tipps mYthos. Sowas zu erkennen braucht anscheinend einiges an Erfahrung.
Ich wäre da jedenfalls nie drauf gekommen, und selbst mit deiner Erklärung finde ich es schwer nachvollziehbar.

Ich werde deine Tipps nochmal kleinschrittig nachrechnen und dann hoffentlich auch auf dein Ergebnis kommen.

16.06.2015, 12:33

mYthos

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Wenn Fälle wie $\begin{eqnarray*} \frac 0 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ auftreten, ist immer danach zu trachten, durch jene Faktoren, die dies verursachen, zu dividieren,
oder mittels anderer algebraischer (z. B. binomischer) Umformungen diese in bestimmbare Terme zu überführen.

mY+

16.06.2015, 13:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
im Nenner $\begin{eqnarray*} 2y \sqrt{\left(\frac{x-8}{2-y}\right)^2 + 1} \end{eqnarray*}$
Den Grenzwert des Bruches im Quadrat berechne mittels $\begin{eqnarray*} x = 8 + h, \ y = 2 + h \text{ und } h \to 0 \end{eqnarray*}$

Meinst du damit $\begin{align*} \left(\frac{x-8}{2-y}\right)^2 \end{align*}$ ? Dafür existiert kein Grenzwert $\begin{align*} x\to 8,y\to 2 \end{align*}$ , wie man an der alternativen Route $\begin{align*} x=8,y=2+h \end{align*}$ im Vergleich zu deiner Route sieht.

Es ist auch gar nicht nötig, dass dieser Grenzwert existiert: Ausgehend von der Faktorisierung

$\begin{align*} f(x,y) = \frac{(x-4y)(2-y)}{2y\sqrt{(x-8)^2+(y-2)^2}} \end{align*}$

kann man den Faktor $\begin{align*} \left| \frac{2-y}{\sqrt{(x-8)^2+(y-2)^2}} \right| \leq 1 \end{align*}$ abschätzen, d.h. er ist beschränkt, während man für den anderen Faktor $\begin{align*} \frac{x-4y}{2y} \end{align*}$ problemlos zeigen kann, dass er gegen Null konvergiert.

16.06.2015, 13:43

mYthos

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Ich vermutete beim Bruch den Grenzwert -1, dessen Quadrat wäre dann 1.
Der Parameter h soll wohl im Zähler UND im Nenner eingeführt sein, offensichtlich ist die Umformung mittels h wohl zu einfach ...

Danke für die Aufmerksamkeit und die Alternative.

mY+

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