E-Funktion und Kettenregel

15.06.2015, 18:10

Danny3214

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E-Funktion und Kettenregel

Hey!

ich hab 3 Fragen zu der Angefügten Aufgabe, ich hoffe ihr könnt das lesen! Ansonsten schreibe ich es noch "sauberer" ab!

- Warum wird die "1" in Klammern nicht abgeleitet
- Warum ändert sich das Vorzeichen in der Klammer bei Ableitung 1 nicht?

und Wie soll man dort Nullstellen berechnen? :-/

schonmal vielen Dank, ihr seid mir bisher immer eine große Hilfe gewesen!

15.06.2015, 18:21

Mi_cha

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zu 1) was ist die Ableitung einer Konstanten?

zu 2) warum sollte sich das Vorzeichen in der Klammer ändern? Diese gehört ja noch zur äußeren Ableitung, bei der der Klammerausdruck einfach übernommen wird.

Möchtest du die NS der ersten Ableitung bestimmen?
Dabei hilft der Satz vom Nullprodukt und das wissen, dass die e-Funktion keine Nullstelle besitzt.

15.06.2015, 19:12

Danny3214

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Zitat:

Original von Mi_cha
zu 1) was ist die Ableitung einer Konstanten?

fällt weg. Ich meine nicht das abgeleitete hinter der Klammer, sondern die 1 in der Klammer! Die muss man ja auch ableiten oder?

Zitat:

zu 2) warum sollte sich das Vorzeichen in der Klammer ändern? Diese gehört ja noch zur äußeren Ableitung, bei der der Klammerausdruck einfach übernommen wird.

das bezieht sich wieder auf Frage 1; wenn Man in der Klammer ableitet hat man doch "-e^-2x * (-2) " und minus mal minus ist doch plus?

Zitat:

Möchtest du die NS der ersten Ableitung bestimmen?
Dabei hilft der Satz vom Nullprodukt und das wissen, dass die e-Funktion keine Nullstelle besitzt.

Eben drum! Aber es ist einmal nach einer NS von f(x) und f`8x) gefragt, das verwundert mich eben!

15.06.2015, 20:14

X18032008

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Wenn du so eine Funktion ableiten möchtest, musst du die Kettenregel anwenden, also musst du die innere Ableitung mit der äußeren Ableitung multiplizieren.
Auf das erste Beispiel bezogen müsstest du so auf dieses Ergebnis kommen:
f(x)=(1-e^(-2x))^2
f'(x)=2(1-e^(-2x))*2e^(-2x)
Diese Ergebnis kannst du dann noch weiter zusammenfassen.

15.06.2015, 20:16

Mi_cha

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zu 1) hm? Die Kettenregel funktioniert so, dass man die äußere mal innere Ableitung bildet. Die äußere ist hier die Potenz der Klammer. Also 2*Klammer. Das bedeutet insbesondere, dass bei diesem Schritt der "Inhalt" der Klammer nicht verändert/abgeleitet wird. Bei der innere Ableitung wird nun der "Inhalt" der Klammer abgeleitet, also $\begin{eqnarray*} 1-e^{-2x} \end{eqnarray*}$ . Und dabei fällt die 1 natürlich weg.

zu 2) das stimmt, so steht es ja auch auf deinem Zettel. Es fehlt lediglich eine Klammer. Ordentlich sollte es so lauten:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2(1-e^{-2x}) \cdot (-e^{-2x}) \cdot (-2) \end{eqnarray*}$

zu den NS: dann sollen wohl die normalen NS berechnet werden und mögliche Extremstellen

15.06.2015, 20:49

Danny3214

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ich habe mich falsch ausgedrückt und wir reden dadurch aneinder vorbei. Ab f´´(x) und f´´´(x) ist ja es keine Kettenregel mehr wie im Sinne bei f(x) die Potenz fehlt ja! Ich hoffe du verstehst was ich meine..

Das man die Kettenregel bei für f´(x) verwendet ist mir klar, aber nicht bei den weiteren Ableitungen

wenn man f´´(x) berechnet hat man ja 4e^-2x (1-e^-x2) (das dick makierte ist mir nicht klar). Das man E-Funktion über die Kettenregel ableitet ist mir klar, aber warum ändert sich dort nicht das vorzeichen? (-e^-x2) * (-2) das müsste doch zu (+ e^-x2) werde? Die zweite Sache warum wird dort die "1" nicht abgeleitet?

Die Sache mit den NS, was sind normale NS? Wie berechnet man diese?

Vielen Dank für deine Mühe!!

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15.06.2015, 20:58

Mi_cha

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aha, ok.
Da ist in der Tat ein Fehler und anstatt des Minus muss ein Plus stehen. Allerdings ist die ganze Ableitung falsch, denn du musst die Produktregel verwenden.

Das mit dem Ableiten der 1 habe ich eigentlich erklärt. Sie ergibt abgeleitet 0 und wird also nicht geschrieben. Ansonsten verstehe ich leider nicht, was du damit meinst.

zu den NS: mit normale NS meinte ich f(x)=0. Das ist die Rechenvorschrift.

15.06.2015, 21:07

Danny3214

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Zitat:

Original von Mi_cha
aha, ok.
Da ist in der Tat ein Fehler und anstatt des Minus muss ein Plus stehen. Allerdings ist die ganze Ableitung falsch, denn du musst die Produktregel verwenden.

damit hat sich alles erklärt! Danke dir, werds gleich nachrechnen!

Zitat:

zu den NS: mit normale NS meinte ich f(x)=0. Das ist die Rechenvorschrift.

wie mach ich das bei einer E-Funktion? Einfach Zuerst die Wurzel ziehen, damit die Potenz weg ist? aber wie krieg ich dann die ^-2x weg?

vielen Dank, bist eine große Hilfe!

15.06.2015, 21:23

Mi_cha

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Zitat:

wie mach ich das bei einer E-Funktion? Einfach Zuerst die Wurzel ziehen, damit die Potenz weg ist? aber wie krieg ich dann die ^-2x weg?

So geht das leider nicht. Wie ich bereits geschrieben habe, hat die e-Funktion selbst keine Nullstellen.

Ich gebe dir mal den Anfang vor:

$\begin{eqnarray*} (1-e^{-2x})^2 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-e^{-2x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Nun kann man es umstädnlich mit dem Logarithmus lösen, um die Potenz zu beseitigen, oder aber man bedient sich seines Wissens über die e-Funktion/Potenzen, denn man weiß, an welcher Stelle sie den Wert 1 annehmen.

Wenn du das hinbekommen hast und die Ableitungen korrigiert hast, kümmern wir uns um die Extremstellen.

PS keine Ursache Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.06.2015, 21:30

Mi_cha

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noch eine Sache: deine zweite Ableigung ist doch richtig. Ich habe mich vertan, sorry. Die Klammersetznug hat mich verwirrt. Ich schreibe sie nochmal ordentlich auf:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -8e^{-2x}+16e^{-4x} \end{eqnarray*}$

15.06.2015, 21:40

Danny3214

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aber warum komme ich aufs richtige Ergebnis? Ich habe definitiv nicht über die Produktregel verwendet. Ich habe das grad 3x versucht zu rechnen, aber da kommt nur mist raus verwirrt

verwirrt

15.06.2015, 21:49

Mi_cha

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das kann ich dir ohne Rechnung nicht sagen.

Diese sieht so aus

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-8e^{-2x}(1-e^{-2x})+4e^{-2x} \cdot 2e^{-2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -8e^{-2x}+8e^{-4x}+8e^{-4x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -8e^{-2x}+16^{-4x} \end{eqnarray*}$

15.06.2015, 22:04

Danny3214

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bin auf dasselbe wie du gekommen, aber die Lösung ist doch f´´(x) = $\begin{eqnarray*} -8e^{-2x} (1-2e^{-2x} \end{eqnarray*}$ ?

ach, dass ist das wohl einfach nur gekürzt, richtig?

15.06.2015, 22:06

Mi_cha

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ja, beide Lösungen sind identisch.

15.06.2015, 22:21

Danny3214

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so ich habe bei f´´´(x) = 16e^-2x - 64e^-4x das müsste ja mit 16e^-2x(1-4e^-x2) übereinstimmen

dann mach ich mal an die NS

15.06.2015, 22:27

Mi_cha

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ja, das stimmt auch.

15.06.2015, 22:37

Danny3214

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für x = 0 wird die E-Funktion 1, da jeder Wert^0 = 1

15.06.2015, 22:42

Mi_cha

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das stimmt. Damit hast du die Nullstelle bei x=0.

Nun mögliche Extrema

15.06.2015, 22:52

Danny3214

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auch wieder genau das selbe? nämlich 0?

15.06.2015, 22:55

Mi_cha

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Du solltest den Punkt als (0|0) angeben . Nun geht es noch um die Art des Extremums.

PS Sind auch Wendestellen gesucht?

15.06.2015, 23:10

Danny3214

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Wendepunkte sind ebenfalls gesucht.

Extrema: f´(x) = 0

jetzt auch weider schauen, wann (1-e^-2x) = 0; auch wieder wie bei NS, für 0! für den Y-Wert muss man das x in f(x) einsetzen, was auch wieder 0 ergibt! Also (0|0), richtig?

muss man auch was mit dem Term 4e^-2x machen?

15.06.2015, 23:17

Mi_cha

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Zitat:

muss man auch was mit dem Term 4e^-2x machen

man muss nur wissen, dass dieser Teil nie Null werden kann. Sonst stimmt alles.

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \underbrace{4e^{-2x}}_{\text {wird nie null}} \cdot \underbrace{(1-e^{-2x})}_{\text{wird Null bei x=0}} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss du noch herausfinden, ob es ein Minimum oder Maximum ist.

Dann kommen die Wendestellen.

15.06.2015, 23:29

Danny3214

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ist ja immer größer 0, daher streng monoton wachsend!

jetzt hab ich noch eine frage wegen den Wendepunkt und zwar: gibt es den ja nur wenn f´´(x) = 0 f´´´(x) ungleich 0 ist! Aber durch das -8e^-2x kann es ja nie null werden, daher auch kein WP?

15.06.2015, 23:40

Mi_cha

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Zitat:

Original von Danny3214
ist ja immer größer 0, daher streng monoton wachsend!

Hm? Du setzt doch x=0 in die zweite Ableitung ein, um zu entscheiden, welche Art Extremstelle vorliegt. Oder gehst du über das Vorzeichen in der Umgebung xon x=0?

Zitat:

jetzt hab ich noch eine frage wegen den Wendepunkt und zwar: gibt es den ja nur wenn f´´(x) = 0 f´´´(x) ungleich 0 ist! Aber durch das -8e^-2x kann es ja nie null werden, daher auch kein WP?

Es gibt einen WP. Beachte

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \underbrace{-4e^{-2x}}_{\text {wird nie Null}} \cdot \underbrace{(1-2e^{-2x})}_{\text{wird Null bei x= ?}} \end{eqnarray*}$

15.06.2015, 23:53

Danny3214

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Zitat:

Original von Mi_cha

Hm? Du setzt doch x=0 in die zweite Ableitung ein, um zu entscheiden, welche Art Extremstelle vorliegt. Oder gehst du über das Vorzeichen in der Umgebung xon x=0?

1. Ableitung ist doch für Monotonie und 2. für die Krümmung? Dazu steht auch in meiner FS f´(x) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0: monoton wachsend

ist wohl meine Lösung falsch?

Zitat:

Es gibt einen WP. Beachte

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \underbrace{-4e^{-2x}}_{\text {wird nie Null}} \cdot \underbrace{(1-2e^{-2x})}_{\text{wird Null bei x= ?}} \end{eqnarray*}$

ah stimmt! Dann schau ich schnell wann x 0 wird! Und das ist garnicht so leicht, wie für die Nullstellen..

1 = 2*e^-2x Wie bekomme ich die ^-2x weg? (Ich hoffe das ist die letzte Frage für heute...)

15.06.2015, 23:58

Mi_cha

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Zitat:

1. Ableitung ist doch für Monotonie und 2. für die Krümmung? Dazu steht auch in meiner FS f´(x) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0: monoton wachsend

Das stimmt, hilft aber nicht bei der Art des Extremums. Man setzt die gefundene Stelle x=0 in die zweite Ableitung ein und sieht, dass $\begin{eqnarray*} f''(0)>0 \end{eqnarray*}$ ist. Demnach liegt ein Minimum vor.

Zitat:

Wie bekomme ich die ^-2x weg

Hier hilft nur Logarithmieren, nachdem du noch den Faktor 2 vor der e-Fkt beseitigt hast

16.06.2015, 00:09

Danny3214

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ups hab monotonie mit Extremstelle verwechselt! Du hast recht ja!

f´´(x) =0,35

f(x)= (1 - e^-2*0,35)² =0,25 -> WP (0,35|0,25)

Danke für deine Ausführliche Hilfe! Solltest unser Lehrer werden!! Danke!

16.06.2015, 00:16

Mi_cha

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Gerne.

Wink

Nur noch eine Kleinigkeit. Es ist schöner, den WP so anzugen: $\begin{eqnarray*} WP \left(\frac{ln 2}{2}|\frac{1}{4} \right) \end{eqnarray*}$

Dass es tatsächlich ein WP und kein Sattelpunkt ist, schenken wir uns Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.06.2015, 13:54

Danny3214

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe jetzt noch 3 weitere Aufgaben gerechnet und sie sind alle aufgangen dank der Top Hilfe! Hat mich wirklich weiter gebracht! Freude

Freude

Allerdings habe noch eine Frage zu einer Aufgabe (ich bräuchte nur den Ansatz)

(x^4-3x²)e^-x²/2

wie gehe hier vor? Normalerweiße würde ich ja die Produktregel verwenden, aber -x²/2 ist ja Bruch d.h. Quotientenregel? Das Verwirrt mich ein bisschen und ich weiß nicht weiter unglücklich

unglücklich

16.06.2015, 14:05

Mi_cha

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Das freut mich zu hören.
Bei dieser Aufgabe benötigst du die Produkt und Kettenregel. Die $\begin{eqnarray*} -(x^2/2) \end{eqnarray*}$ sind ja lediglich der Exponent und haben mit der Quotientenregel nur insofern etwas zu tun, wenn es um die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{-x^2/2} \end{eqnarray*}$ geht.

Edit: es geht auch ganz ohne Quotientenregel, denn -x^2/2 lässt sich direkt ableiten

16.06.2015, 17:57

Danny3214

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wie kann man denn -x^2/2 direkt ableiten? Habs über die Quotientenregel probiert und es hat nicht wirklich geklappt..

du meinst das man es direkt ableiten kann und direkt in Produktregel setzen kann richtig?

16.06.2015, 18:09

Mi_cha

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es geht doch um

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^4-3x^2) \cdot e^{- \frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} u=(x^4-3x^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=e^{- \frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ ergibt sich
$\begin{eqnarray*} v'=-x \cdot e^{- \frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ . u' bekommst du sicher selbst hin.

16.06.2015, 20:12

Danny3214

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hab den Rest hinbekommen, danke!

angenommen es würde sich nicht so gut ableiten lassen? Wie müsste man da dann ran gehen? Über die Quotientenregel?

16.06.2015, 21:53

Mi_cha

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je nachdem, wie der Exponent der e-Funktion aussieht, muss man dafür die Quotientenregel verwenden.
Bsp:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ \frac {2x}{x+1}} \end{eqnarray*}$ gibt abgeleitet $\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac {2} {(x+1)^2} \cdot e^{\frac {2x}{x+1}} \end{eqnarray*}$

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