Maximales Quadervolumen

15.06.2015, 18:38

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Maximales Quadervolumen

Meine Frage:
Maximale Grösse für Aufgabegepäck bei EasyJet =Länge+Breite+Höhe =2750mm

Welche Kombination von Länge, Breite, Höhe ergibt das grösste Volumen?

Meine Ideen:
in Wikipedia und so wird behauptet, die Kugel habe das kleinste A/V -Verhältnis...
Kann man davon "ableiten", dass der volumengrösste (Koffer)Quader würfelförmig ist?
Also mit einer Kantenlänge von 2750/3 mm, =916mm.
Stimmt das?

15.06.2015, 18:53

Widderchen

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Hallo,

das ist im Grunde eine Extremwertaufgabe. Das Quadervolumen beträgt:

$\begin{eqnarray*} V(a,b,c) = a \cdot b \cdot c \end{eqnarray*}$ . Das ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung lautet: $\begin{eqnarray*} a + b + c = 2.75 (m) \end{eqnarray*}$ . Einsetzen in deine Hauptbedingung liefert dir die Zielfunktion (aufgelöst nach c):

$\begin{eqnarray*} V(a,b) = a \cdot b \cdot (2.75 - a - b ) \end{eqnarray*}$ .

Unter der Annahme dass eine quadratische Grundfläche vorliegt, folgt a = b und damit :

$\begin{eqnarray*} V(a) = a^2 \cdot (2.75 - 2a) \end{eqnarray*}$

Berechne nun die Extremstellen dieser Funktion. Diese lauten $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = 0.917 \end{eqnarray*}$

Das heißt: Ja, der Koffer mit dem größten Volumen ist ein Würfel mit der Seitenlänge a = 0.917 m, vorausgesetzt die Grundfläche ist quadratisch.

Viele Grüße
Widderchen

02.05.2022, 01:51

Drd

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aus Symmetriegründen:
max. Volumen bei a=c=b=1/3K

02.05.2022, 09:03

HAL 9000

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Mitunter kann man alternativ zu klassischen analytischen Extremwertrechnungen auch gängige Ungleichungen zur Anwendung bringen, hier z.B. die zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel nichtnegativer reeller Zahlen: Die lautet hier.

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{V}\leq \frac{a+b+c}{3} \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} V\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3 \end{eqnarray*}$ mit Gleichheit (also maximalem Volumen) genau dann wenn $\begin{eqnarray*} a=b=c \end{eqnarray*}$ .

02.05.2022, 10:19

Huggy

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Zitat:

Original von Drd
aus Symmetriegründen:
max. Volumen bei a=c=b=1/3K

Diese Begründung ist nicht stichhaltig. Aus der Symmetrie der Zielfunktion und der Nebenbedingung folgt nur, falls es ein Maximum gibt, bei dem nicht alle Seitenlängen gleich sind, dann wird dieses Maximum auch für jede Permutation der Seitenlängen angenommen.

Als Beispiel sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f(a, b)=a^4b+ab^4 \end{eqnarray*}$ betrachtet. Es soll deren Maximum unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} a+b=10 \end{eqnarray*}$ bestimmt werden. Funktion und Nebenbedingung sind symmetrisch in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Man kann das Maximum bestimmen, in dem man $\begin{eqnarray*} b=10-a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(a,b) \end{eqnarray*}$ einsetzt. Man erhält $\begin{eqnarray*} f(a, 10-a)=a^4(10-a)+a(10-a)^4 \end{eqnarray*}$ . Der Plot dieser Funktion

[attach]55059[/attach]

zeigt, dass es 2 Maxima gibt, die aber nicht bei $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ liegen. Die rechnerische Bestimmung der Position der Maxima ergibt

$\begin{eqnarray*} a=5-\frac 5 {\sqrt 3}, \quad b=5+\frac 5 {\sqrt 3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=5+\frac 5 {\sqrt 3}, \quad b=5-\frac 5 {\sqrt 3} \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} a=b=5 \end{eqnarray*}$ hat man ein lokales Minimum.

02.05.2022, 10:41

HAL 9000

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@Huggy

Nettes Beispiel. Bei dem käme man unter NB $\begin{eqnarray*} a+b=10 \end{eqnarray*}$ und mit AMGM übrigens zu

$\begin{eqnarray*} f(a,b) = ab(a^3+b^3) = ab(a+b)((a+b)^2-3ab) = 10ab(100-3ab)\leq \frac{10}{3}\cdot \left(\frac{3ab + 100-3ab}{2}\right)^2 = \frac{25000}{3} \end{eqnarray*}$ .

Zugegebenermaßen hat man dann noch etwas Aufwand, die Maximumstelle(n) per Auflösung von $\begin{eqnarray*} 3ab=100-3ab \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} ab = a(10-a) = \frac{50}{3} \end{eqnarray*}$ darzustellen.

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